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小テスト ／ h1-01

整式の計算（展開・3次の乗法公式）

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整式の計算（展開・3次の乗法公式） ── 問題

基礎

  1. 整式 3x² + 5xy − 3y² は x について何次式ですか。
  2. 次の計算をしなさい。 (4x² + x − 6) − (5x² − 2x − 2)　（ア −x² − x − 4　イ −x² + 3x − 4　ウ −x² + 3x − 8　エ 9x² − x − 8）
  3. 次の式を展開しなさい。 (x − 3)(3x + 2)　（ア 4x² − 7x − 6　イ 3x² − 7x + 6　ウ 3x² − 7x − 6　エ 3x² + 11x − 6）
  4. 次の式を展開しなさい。 (x + 1)³　（ア x³ + 1　イ x³ + 3x² + 3x + 1　ウ x³ + x² + x + 1）
  5. 次の式を展開しなさい。 (x + 3)(x² − 3x + 9)　（ア x³ + 3x² + 9x + 27　イ x³ − 27　ウ x³ + 27　エ x³ + 6x² + 27）
  6. 単項式 −4x²y³ の次数と係数の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア 次数 5、係数 −4　イ 次数 6、係数 4　ウ 次数 2、係数 −4　エ 次数 5、係数 4）

標準

  1. 次の式を展開しなさい。 (2x + 3y + 2)²　（ア 4x² + 9y² + 4　イ 4x² + 12xy + 8x + 9y² + 12y + 4　ウ 4x² + 12xy − 8x + 9y² + 12y + 4　エ 4x² + 6xy + 4x + 9y² + 6y + 4）
  2. 次の式を展開しなさい。 (2x − 3)³　（ア 8x³ − 18x² − 18x − 27　イ 8x³ − 27　ウ 8x³ − 36x² + 54x − 27　エ 2x³ − 36x² + 54x − 27）
  3. 次の式を展開しなさい。 (x + 3)(x − 3)(x² + 9)　（ア x⁴ + 81　イ x⁴ − 81　ウ x⁴ − 9　エ x⁴ − 18x² + 81）
  4. 次の式を展開しなさい。 (x + y + 6)(x + y − 6)　（ア x² + 2xy + y² − 36　イ x² + 2xy + y² + 36　ウ x² + y² − 36　エ x² − 2xy + y² − 36）
  5. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) を展開するとき、最初にかけ合わせると計算が楽になる組み合わせはどれですか。　（ア (x + 1)(x + 2) と (x + 3)(x + 4)　イ (x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3)　ウ (x + 1)(x + 3) と (x + 2)(x + 4)　エ どの組でも同じ）

発展

  1. 次の式を展開しなさい。 (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x + 6)　（ア x⁴ + 16x³ + 91x² + 216x + 186　イ x⁴ + 16x³ + 91x² + 216x + 180　ウ x⁴ + 16x³ + 89x² + 216x + 180　エ x⁴ + 16x³ + 91x² + 217x + 180）
  2. a + b = 3、ab = 1 のとき、a³ + b³ の値はどれですか。　（ア 27　イ 18　ウ 24　エ 9）
  3. (a + b)⁴ を展開したときの a²b² の係数はどれですか。　（ア 4　イ 6　ウ 8　エ 12）

整式の計算（展開・3次の乗法公式） ── 解答

基礎

  1. 2　x について最も次数の高い項は x の 2 乗の項なので 2 次式。y は数とみなす。
  2. イ　−x² + 3x − 4　ひく式のかっこを外すときは全部の符号を変える。同類項をまとめて −x² + 3x − 4。
  3. ウ　3x² − 7x − 6　(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd。3x² − 7x − 6
  4. イ　x³ + 3x² + 3x + 1　(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。係数は 1・3・3・1。x³ + 3x² + 3x + 1
  5. ウ　x³ + 27　(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³。x³ + 27
  6. ア　次数 5、係数 −4　文字の個数は x が 2 個・y が 3 個で 5。係数は符号込みで −4。

標準

  1. イ　4x² + 12xy + 8x + 9y² + 12y + 4　(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca。4x² + 12xy + 8x + 9y² + 12y + 4
  2. ウ　8x³ − 36x² + 54x − 27　(ax + b)³ = a³x³ + 3a²bx² + 3ab²x + b³。係数も 3 乗する。8x³ − 36x² + 54x − 27
  3. イ　x⁴ − 81　(x + a)(x − a) = x² − a² を先に作り、(x² − a²)(x² + a²) = x⁴ − a⁴。x⁴ − 81
  4. ア　x² + 2xy + y² − 36　x + y = A とおくと (A + c)(A − c) = A² − c²。A² = x² + 2xy + y²。x² + 2xy + y² − 36
  5. イ　(x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3)　定数の和が等しい組（1 + 4 = 2 + 3）を作ると、どちらも x² + 5x が現れておきかえができる。

発展

  1. イ　x⁴ + 16x³ + 91x² + 216x + 180　2 + 6 = 3 + 5 なので、(x + 2)(x + 6) と (x + 3)(x + 5) を先にかけると、どちらにも x² + 8x が現れる。おきかえて展開すると x⁴ + 16x³ + 91x² + 216x + 180。
  2. イ　18　a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 27 − 3・1・3 = 18。
  3. イ　6　(a + b)⁴ = {(a + b)²}² = (a² + 2ab + b²)²。a²b² は (2ab)² = 4a²b² と 2・a²・b² = 2a²b² の和で 6a²b²。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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