実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 問題
基礎
- 循環小数 0.777… を分数で表しなさい。
- 次の値を求めなさい。 |−1 + √5| （ア −1 + √5 イ 1 + √5 ウ 1 − √5 エ −1 − √5）
- 次の式を簡単にしなさい。 √108 （ア 18√2 イ 36√3 ウ 6√3 エ 3√6）
- 次の式の分母を有理化しなさい。 2/√6 （ア √6/3 イ √6/18 ウ 2√6 エ √6/2）
- 次の計算をしなさい。 (√5 + 4)(√5 − 4) （ア −16 + √5 イ 21 ウ 1 エ −11）
- 次のうち無理数はどれですか。 （ア √16 イ 0.333… ウ √8 エ 22/7）
標準
- 次の式の分母を有理化しなさい。 4/(√7 − √6) （ア 4√6/13 + 4√7/13 イ −4√6 + 4√7 ウ 4√6 + 4√7）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(10 + 2√24) （ア √10 + √2 イ 1 + 2√6 ウ 2 + √6 エ −2 + √6）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(8 − 2√7) （ア 1 + √7 イ √6 ウ 1 − √7 エ −1 + √7）
- √40 の整数部分を答えなさい。
- a < 0 のとき、√(a²) − √((a − 4)²) を簡単にしなさい。 （ア −4 イ 2a + 4 ウ 4 エ −2a − 4）
- √(4 + √15) を簡単にしたものはどれですか。 （ア √5 + √3 イ (√10 + √6)/2 ウ 2 + √15 エ (√5 + √3)/2）
発展
- 1/(√3 − 1) の整数部分を a、小数部分を b とするとき、b はどれですか。 （ア (√3 − 1)/2 イ √3 − 1 ウ (√3 + 1)/2 − 1 エ (√3 − 3)/2）
- x = √3 + √2、y = √3 − √2 のとき、x² + y² の値はどれですか。 （ア 10 イ 6 ウ 12 エ 2√6）
- 0 < a < 1 のとき、√(a²) + √((a − 1)²) を簡単にしたものはどれですか。 （ア 1 イ 2a − 1 ウ −1 エ 1 − 2a）
実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 解答
基礎
- 7/9 x = 0.777… とおくと 10x = 7.77…。引いて 9x = 7、x = 7/9。
- ア −1 + √5 √5 > 1 なので、中は正。絶対値は正にして −1 + √5。
- ウ 6√3 108 = 6² × 3 なので √108 = 6√3。
- ア √6/3 分母・分子に √6 をかける。2√6/6 を約分して √6/3。
- エ −11 和と差の積：(√5)² − 4² = 5 − 16 = −11。
- ウ √8 √16 = 4、0.333… = 1/3、22/7 は分数。√8 = 2√2 は分数で表せない。
標準
- ウ 4√6 + 4√7 分母・分子に √7 + √6 をかける。分母は 7 − 6 = 1。4√6 + 4√7
- ウ 2 + √6 たして 10、かけて 24 になる 2 数は 6 と 4。√6 + 2。
- エ −1 + √7 たして 8、かけて 7 になる 2 数は 7 と 1。大きいほうから引いて √7 − 1（正になるように）。
- 6 36 < 40 < 49 なので 6 < √40 < 7。整数部分は 6。
- ア −4 √(a²) = |a| = −a（a < 0）、√((a − 4)²) = |a − 4| = −(a − 4) = 4 − a（a − 4 < 0）。差は −a − (4 − a) = −4。
- イ (√10 + √6)/2 2√ の形にする：√{(8 + 2√15)/2} = (√5 + √3)/√2 = (√10 + √6)/2。
発展
- ア (√3 − 1)/2 有理化すると (√3 + 1)/2 ≒ 1.37。整数部分 1、小数部分 (√3 + 1)/2 − 1 = (√3 − 1)/2。選択肢の 3 番目は同じ値だが整理前の形。
- ア 10 x + y = 2√3、xy = 1。x² + y² = (x + y)² − 2xy = 12 − 2 = 10。
- ア 1 |a| = a、|a − 1| = 1 − a（a − 1 < 0）。和は a + 1 − a = 1。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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