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小テスト ／ h1-07

二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け）

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二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け） ── 問題

基礎

  1. 二次関数 y = −x² + 4x − 8 の最大値または最小値を答えなさい。　（ア x = 2 で最小値 −4（最大値はない）　イ x = 2 で最大値 −4（最小値はない）　ウ x = −4 で最大値 2（最小値はない）　エ x = −2 で最大値 −4（最小値はない））
  2. 二次関数 y = x² − 2x − 2（−1 ≦ x ≦ 3）の最小値を答えなさい。　（ア x = −1 のとき 1　イ x = 1 のとき −3　ウ x = 1 のとき −2　エ x = 1 のとき 3　undefined x = 3 のとき 1）
  3. 二次関数 y = x² − 2x + 5（1 ≦ x ≦ 5）の最大値を答えなさい。　（ア x = 1 のとき 4　イ x = 5 のとき 21　ウ x = 5 のとき 12　エ x = 5 のとき 20）
  4. 二次関数 y = x² + 2x + 4（0 ≦ x ≦ 3）の最小値と最大値を答えなさい。　（ア 最小値 3（x = −1）、最大値はない　イ 最小値 19（x = 3）、最大値 4（x = 0）　ウ 最小値 3（x = −1）、最大値 19（x = 3）　エ 最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3））
  5. y = −2x² + 4x + 1 の最大値・最小値について正しいものはどれですか。　（ア x = 1 で最大値 3、最小値はない　イ x = 1 で最小値 3、最大値はない　ウ x = −1 で最大値 3、最小値はない　エ 最大値も最小値もない）

標準

  1. a は定数とする。二次関数 y = x² − 2ax + 4（0 ≦ x ≦ 3）の最小値を、a の値で場合分けして求めたものはどれですか。　（ア a < 0 のとき 4、0 ≦ a ≦ 3 のとき −a² + 4、a > 3 のとき 13 − 6a　イ すべての a について −a² + 4　ウ a < 3/2 のとき 4、a ≧ 3/2 のとき 13 − 6a　エ a < 0 のとき 13 − 6a、0 ≦ a ≦ 3 のとき −a² + 4、a > 3 のとき 4）
  2. a は定数とする。二次関数 y = x² − 2ax + 5（0 ≦ x ≦ 3）の最大値を、a の値で場合分けして求めたものはどれですか。　（ア a < 3/2 のとき 5、a ≧ 3/2 のとき 14 − 6a　イ a < 0 のとき 5、0 ≦ a ≦ 3 のとき −a² + 5、a > 3 のとき 14 − 6a　ウ a < 3/2 のとき 14 − 6a、a ≧ 3/2 のとき 5　エ すべての a について 14 − 6a）
  3. 二次関数 y = x² − 6x + c（2 ≦ x ≦ 7）の最大値が 15 であるとき、定数 c の値を答えなさい。
  4. y = x² − 4x + 5（a ≦ x ≦ a + 2）の最小値が 1 になる a の範囲はどれですか。　（ア 0 ≦ a ≦ 2　イ a ≦ 0　ウ a ≧ 2　エ a = 2）
  5. y = x² − 4x + 5（3 ≦ x ≦ 5）の最小値と最大値の組み合わせはどれですか。　（ア 最小値 1（x = 2）、最大値 10（x = 5）　イ 最小値 2（x = 3）、最大値 10（x = 5）　ウ 最小値 2（x = 3）、最大値 5（x = 0）　エ 最小値 1（x = 2）、最大値 2（x = 3））

発展

  1. y = −x² + 2ax（0 ≦ x ≦ 2）の最大値が 3 になる a の値はどれですか。　（ア a = √3　イ a = 7/4　ウ a = √3 または 7/4　エ a = 3/2）
  2. y = x² − 2ax + 3（0 ≦ x ≦ 2）の最小値を m(a) とする。m(a) が最大になる a の値はどれですか。　（ア a = 0　イ a = 1　ウ a = 2　エ a = −1）
  3. 周の長さが 20 の長方形で、面積が最大になるときの面積はどれですか。　（ア 25　イ 24　ウ 20　エ 100）

二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け） ── 解答

基礎

  1. イ　x = 2 で最大値 −4（最小値はない）　平方完成すると y = −(x − 2)² − 4。上に凸なので頂点で最大。x = 2 で最大値 −4（最小値はない）
  2. イ　x = 1 のとき −3　y = (x − 1)² − 3、軸 x = 1 は定義域の中。下に凸なので頂点で最小。x = 1 のとき −3
  3. エ　x = 5 のとき 20　軸 x = 1 は定義域の中。下に凸なので最大は軸から遠いほうの端。x = 1 で 4、x = 5 で 20。x = 5 のとき 20
  4. エ　最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3）　軸 x = −1 は定義域の左外。範囲内でグラフは右上がりなので、両端で最小・最大。最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3）
  5. ア　x = 1 で最大値 3、最小値はない　−2(x − 1)² + 3。上に凸なので頂点で最大。

標準

  1. ア　a < 0 のとき 4、0 ≦ a ≦ 3 のとき −a² + 4、a > 3 のとき 13 − 6a　y = (x − a)² − a² + 4、軸 x = a。軸が定義域の左（a < 0）なら x = 0 で 4、中（0 ≦ a ≦ 3）なら頂点で −a² + 4、右（a > 3）なら x = 3 で 13 − 6a。
  2. ウ　a < 3/2 のとき 14 − 6a、a ≧ 3/2 のとき 5　下に凸の最大は軸から遠いほうの端。定義域の中央 x = 3/2 で分ける。a < 3/2 なら x = 3 で 14 − 6a、a ≧ 3/2 なら x = 0 で 5。
  3. −1　軸 x = 3。最大は軸から遠い端 x = 7 で、値は 16 + c。16 + c = 15 より c = −1。
  4. ア　0 ≦ a ≦ 2　頂点 (2, 1)。最小値が頂点の値 1 になるのは、軸 x = 2 が定義域 a ≦ x ≦ a + 2 に含まれるとき：a ≦ 2 ≦ a + 2 → 0 ≦ a ≦ 2。
  5. イ　最小値 2（x = 3）、最大値 10（x = 5）　軸 x = 2 は定義域の左外。範囲内では右上がり。x = 3 で 2、x = 5 で 10。

発展

  1. ア　a = √3　軸 x = a。0 ≦ a ≦ 2 のとき最大は頂点 a² = 3 → a = √3 ✓。a > 2 のとき x = 2 で 4a − 4 = 3 → a = 7/4（a > 2 を満たさない）。a < 0 のとき x = 0 で 0 ≠ 3。
  2. ア　a = 0　m(a) は a < 0 で 3、0 ≦ a ≦ 2 で −a² + 3（a = 0 で 3、減少）、a > 2 で 7 − 4a（3 未満）。最大値 3 は a ≦ 0 で、選択肢では a = 0。
  3. ア　25　縦 x、横 10 − x（0 < x < 10）。面積 S = x(10 − x) = −(x − 5)² + 25。x = 5 で最大 25。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-07/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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