二次方程式・判別式・解と係数 ── 問題
基礎
- 二次方程式 x² − 4x − 5 = 0 を解きなさい。 （ア x = 1、−5 イ x = −1、−5 ウ x = −1、5）
- 二次方程式 x² + 2x − 4 = 0 を解きなさい。 （ア x = 1 ± √5 イ x = −1 ± 2√5 ウ x = −2 ± √5 エ x = −1 ± √5）
- 二次方程式 x² + 3x + 3 = 0 の実数解の個数を答えなさい。 （ア 1 個（重解） イ 2 個 ウ 0 個）
- 二次関数 y = −2x² + 4x + 1 のグラフと x 軸の共有点の個数を答えなさい。 （ア 0 個（共有点なし） イ 1 個（接する） ウ 2 個）
- 二次方程式 ax² + bx + c = 0 が重解を持つ条件はどれですか。 （ア b² − 4ac > 0 イ b² − 4ac = 0 ウ b² − 4ac < 0 エ b = 0）
標準
- 二次方程式 x² − 2x + k = 0 が重解を持つような定数 k の範囲（または値）を求めなさい。 （ア k = −2 イ k = −1 ウ k = 1 エ k = 4）
- 二次関数 y = x² + 10x + k のグラフが x 軸と異なる 2 点で交わるような定数 k の範囲（または値）を求めなさい。 （ア k > 25 イ k < 25 ウ k < 10 エ k ≦ 25）
- 二次関数 y = x² + x − 2 のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを答えなさい。
- 放物線 y = x² − 4 と直線 y = 2x + k が接するような定数 k の値を求めなさい。 （ア k = 3 イ k = −5 ウ k = −3 エ k = −8）
- 放物線 y = x² + 1 と直線 y = 2x + 4 の交点の座標はどれですか。 （ア (3, 10)、(−1, 2) イ (3, 10)、(1, 2) ウ (−3, 10)、(1, 2) エ (3, 9)、(−1, 1)）
発展
- 方程式 ax² + 2x + 1 = 0 が実数解を持つような a の範囲はどれですか。 （ア a ≦ 1 イ a < 1 ウ a ≦ 1 かつ a ≠ 0 エ a ≧ 1）
- 二次関数 y = x² − 2(k + 1)x + k² + 3 のグラフが x 軸と接するときの k の値はどれですか。 （ア k = 1 イ k = −1 ウ k = 2 エ k = 0）
- 二次方程式 x² − 4x + k = 0 の 1 つの解が 2 + √3 のとき、k の値はどれですか。 （ア k = 1 イ k = −1 ウ k = 3 エ k = 7）
二次方程式・判別式・解と係数 ── 解答
基礎
- ウ x = −1、5 因数分解：(x − 5)(x + 1) = 0。x = −1、5
- エ x = −1 ± √5 x の係数が偶数なので b′ = 1 の公式：x = −b′ ± √(b′² − c) = −1 ± √5。x = −1 ± √5
- ウ 0 個 D = b² − 4ac = 9 − 12 = −3 < 0。0 個
- ウ 2 個 共有点の個数は −2x² + 4x + 1 = 0 の実数解の個数。D = 24 > 0。2 個
- イ b² − 4ac = 0 判別式 D = 0 のとき、解の公式の √ の中が 0 になり解は 1 つ（重解）。
標準
- ウ k = 1 重解を持つのは D = 0。D/4 = 1 − k。k = 1
- イ k < 25 x 軸と異なる 2 点で交わるのは D > 0。D/4 = 25 − k。頂点の y 座標 k − 25 の符号で考えても同じ。k < 25
- 3 x² + x − 2 = 0 を解くと (x − 1)(x + 2) = 0 より x = −2、1。長さは 1 − (−2) = 3。
- イ k = −5 連立して x² − 2x − 4 − k = 0。接する ⇔ D/4 = 1 − (−4 − k) = 0。k = −5
- ア (3, 10)、(−1, 2) x² + 1 = 2x + 4 → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3、−1。y は直線に代入。
発展
- ア a ≦ 1 a = 0 のとき 2x + 1 = 0 は解を持つ。a ≠ 0 のとき D/4 = 1 − a ≧ 0 → a ≦ 1。合わせて a ≦ 1。
- ア k = 1 D/4 = (k + 1)² − (k² + 3) = 2k − 2 = 0 → k = 1。
- ア k = 1 b′ の公式で x = 2 ± √(4 − k)。√(4 − k) = √3 → k = 1。（代入して (2 + √3)² − 4(2 + √3) + k = 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + k = k − 1 = 0 でも可）
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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