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小テスト ／ h1-12

図形の計量（面積・内接円・空間図形）

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図形の計量（面積・内接円・空間図形） ── 問題

基礎

  1. 三角形 ABC で、b = 3、c = 5、A = 45° のとき、面積 S を求めなさい。　（ア 15√2/2　イ 15√2/4　ウ 15√2/8　エ 15/2）
  2. 三角形 ABC で、a = 6、b = 8、c = 10 のとき、面積 S を求めなさい。　（ア 32　イ 48　ウ 40　エ 24）
  3. 三角形 ABC で、a = 4、b = 4、c = 4、面積 S = 4√3 のとき、内接円の半径 r を求めなさい。　（ア √3/3　イ 4√3/3　ウ 2√3/3）
  4. 三角形の面積を S、3 辺を a、b、c、内接円の半径を r とするとき、成り立つ式はどれですか。　（ア S = (1/2) r (a + b + c)　イ S = r (a + b + c)　ウ S = (1/2) r abc　エ S = 2r (a + b + c)）
  5. b = 4、c = 5、A = 60° の三角形の面積はどれですか。　（ア 5√3　イ 10√3　ウ 10　エ 5）

標準

  1. AB = 8、BC = 7、CA = 5 の三角形 ABC について、A の大きさ、面積 S、内接円の半径 r、外接円の半径 R をこの順に求めなさい。　（ア A = 60°、S = 10√3、r = √3、R = 7√3/3　イ A = 60°、S = 20√3、r = 2√3、R = 14√3/3　ウ A = 60°、S = 10√3、r = 7√3/3、R = √3　エ A = 120°、S = 10√3、r = √3、R = 7√3/3）
  2. 円に内接する四角形 ABCD で AB = 2、BC = 3、CD = 3、DA = 4 のとき、cos A の値はどれですか。　（ア 1/17　イ −1/17　ウ 1/8　エ 2/17）
  3. 1 辺の長さが 2 の正四面体の高さはどれですか。　（ア 2√6/3　イ √3　ウ 2√3/3　エ √6）
  4. 隣り合う 2 辺が 4 と 6 で、その間の角が 30° の平行四辺形の面積はどれですか。　（ア 12　イ 24　ウ 12√3　エ 6）
  5. 三角形 ABC の面積が 6、a = 3、b = 4、c = 5 のとき、内接円の半径はどれですか。　（ア 1　イ 2　ウ 3/2　エ 1/2）

発展

  1. 1 辺の長さが 2 の正四面体の体積はどれですか。　（ア 2√2/3　イ √2/3　ウ 4√2/3　エ 2√3/3）
  2. AB = 3、AC = 4、∠A = 60° の三角形 ABC で、∠A の二等分線が BC と交わる点を D とするとき、AD の長さはどれですか。　（ア 12√3/7　イ √13　ウ 6√3/7　エ 2√3）
  3. 縦 1、横 2、高さ 2 の直方体の対角線と底面のなす角を θ とするとき、tan θ の値はどれですか。　（ア 2/√5　イ √5/2　ウ 2/3　エ 1/√5）

図形の計量（面積・内接円・空間図形） ── 解答

基礎

  1. イ　15√2/4　S = (1/2) bc sin A = (1/2)・3・5・sin 45° = (1/2)・3・5・(√2/2) = 15√2/4。
  2. エ　24　余弦定理で cos A = 4/5、sin A = √(1 − cos²A) = 3/5。S = (1/2)・8・10・sin A = 24。
  3. ウ　2√3/3　S = (1/2) r (a + b + c) より r = 2S / (a + b + c) = 2・4√3 / 12 = 2√3/3。
  4. ア　S = (1/2) r (a + b + c)　内心と 3 頂点を結んで 3 つの三角形に分けると、それぞれの高さが r。
  5. ア　5√3　(1/2)・4・5・sin 60° = 10・(√3/2) = 5√3。

標準

  1. ア　A = 60°、S = 10√3、r = √3、R = 7√3/3　① 余弦定理で cos A ② S = (1/2)・AB・CA・sin A ③ r = 2S/(a + b + c) ④ 2R = BC / sin A。A = 60°、S = 10√3、r = √3、R = 7√3/3
  2. ア　1/17　BD² = 20 − 16 cos A = 18 + 18 cos A（∠C = 180° − ∠A で cos C = −cos A）→ cos A = 1/17。
  3. ア　2√6/3　垂線の足は底面の重心。BH = 2√3/3、AH = √(4 − 4/3) = 2√6/3。
  4. ア　12　平行四辺形の面積 = ab sin θ = 4・6・(1/2) = 12。
  5. ア　1　r = 2S/(a + b + c) = 12/12 = 1。

発展

  1. ア　2√2/3　底面積 √3、高さ 2√6/3。V = (1/3)・√3・(2√6/3) = 2√18/9 = 2√2/3。
  2. ア　12√3/7　面積で：△ABD + △ACD = △ABC → (1/2)・3・AD・sin 30° + (1/2)・4・AD・sin 30° = (1/2)・3・4・sin 60° → (7/4) AD = 3√3 → AD = 12√3/7。
  3. ア　2/√5　底面の対角線 √(1 + 4) = √5。tan θ = 高さ / 底面の対角線 = 2/√5。

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