中学数学英語理科社会国語高校数学

小テスト ／ h2-03

剰余の定理・因数定理・高次方程式

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

剰余の定理・因数定理・高次方程式 ── 問題

基礎

  1. 整式 P(x) = x³ + x² + x + 4 を x − 3 で割った余りを求めなさい。
  2. 次の式を因数分解しなさい。 x³ − x² − 9x + 9　（ア (x − 1)²(x + 3)　イ (x − 3)(x − 1)(x + 3)　ウ (x − 1)(x + 3)²　エ (x − 3)(x + 1)(x + 3)）
  3. 3 次方程式 x³ + x² − 6x = 0 を解きなさい。　（ア x = −3、0　イ x = −3、0、2　ウ x = 3、0、−2　エ x = −3、0、3）
  4. 4 次方程式 x⁴ − 17x² + 16 = 0 を解きなさい。　（ア x = 1、4　イ x = ±1、±4　ウ x = ±1、±16　エ x = ±1i、±4i）
  5. ω を 1 の 3 乗根のうち虚数であるものの 1 つとするとき、ω^18 の値を求めなさい。　（ア ω²　イ ω　ウ −1　エ 1）
  6. 整式 P(x) を 2x − 1 で割った余りはどれですか。　（ア P(1/2)　イ P(2)　ウ P(−1/2)　エ P(1)）

標準

  1. 整式 P(x) を x − 2 で割ると余りが 6、x − 3 で割ると余りが 1 である。P(x) を (x − 2)(x − 3) で割った余りを求めなさい。　（ア 6x + 1　イ −5x + 16　ウ 5x − 4　エ −5x + 6）
  2. 3 次方程式 x³ − x² + 3x + 5 = 0 を解きなさい。　（ア x = −1、−1 ± 2i　イ x = 1、1 ± 2i　ウ x = −1、1 ± 2i　エ x = −1 のみ（実数解 1 個））
  3. 3 次方程式 x³ + x² + 5 = 0 の 3 つの解を α、β、γ とするとき、α² + β² + γ² の値を求めなさい。
  4. ω を 1 の虚数の 3 乗根の 1 つとするとき、ω⁴ + ω² + 1 の値はどれですか。　（ア 0　イ 1　ウ −1　エ ω）
  5. x³ − 3x + 2 = 0 の解はどれですか。　（ア x = 1（重解）、−2　イ x = 1、2　ウ x = −1（重解）、2　エ x = 1、−1、2）

発展

  1. x³ + ax + b = 0（a、b は実数）の 1 つの解が 1 + i のとき、残りの解はどれですか。　（ア 1 − i と −2　イ 1 − i と 2　ウ −1 − i と 0　エ 1 − i と −1）
  2. 整式 P(x) を x² − 1 で割ると余りが 2x + 1、x − 2 で割ると余りが 3 である。P(x) を (x² − 1)(x − 2) で割った余りを ax² + bx + c とするとき、a の値はどれですか。　（ア −2/3　イ 2/3　ウ 1　エ −1）
  3. 2x³ − 3x² − 3x + 2 = 0 の解はどれですか。　（ア x = −1、2、1/2　イ x = 1、−2、1/2　ウ x = −1、2、−1/2　エ x = 1、2、1/2）

剰余の定理・因数定理・高次方程式 ── 解答

基礎

  1. 43　剰余の定理：余りは P(3) = 43。
  2. イ　(x − 3)(x − 1)(x + 3)　P(−3) = 0 なので (x + 3) を因数に持つ。割った商の 2 次式をさらに因数分解して (x − 3)(x − 1)(x + 3)。
  3. イ　x = −3、0、2　因数定理で (x + 3)(x)(x − 2) = 0。x = −3、0、2
  4. イ　x = ±1、±4　x² = t とおくと t² − 17t + 16 = (t − 1)(t − 16) = 0。x² = 1、16 より x = ±1、±4。
  5. エ　1　ω³ = 1 なので ω^18 = (ω³)^6 × ω^0 = 1。
  6. ア　P(1/2)　2x − 1 = 0 の解 x = 1/2 を代入。

標準

  1. イ　−5x + 16　余りを px + q とおく。P(2) = 2p + q = 6、P(3) = 3p + q = 1。解いて p = −5。−5x + 16
  2. ウ　x = −1、1 ± 2i　P(−1) = 0 より (x + 1)(x² − 2x + 5) = 0。2 次式は虚数解。x = −1、1 ± 2i
  3. 1　解と係数の関係：α + β + γ = −1、αβ + βγ + γα = 0。α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα) = 1 − (0) = 1。
  4. ア　0　ω⁴ = ω なので ω + ω² + 1 = 0。
  5. ア　x = 1（重解）、−2　(x − 1)(x² + x − 2) = (x − 1)²(x + 2)。

発展

  1. ア　1 − i と −2　共役 1 − i も解。3 解の和 = 0（x² の係数が 0）より残りは −2。
  2. ア　−2/3　余り = a(x² − 1) + 2x + 1 とおける（x² − 1 で割った余りが 2x + 1）。x = 2 で 3a + 5 = 3 → a = −2/3。
  3. ア　x = −1、2、1/2　P(−1) = 0、P(2) = 0。(x + 1)(x − 2)(2x − 1) = 0。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。