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小テスト ／ h2-04

点と直線（内分・外分・距離・直線の方程式）

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点と直線（内分・外分・距離・直線の方程式） ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(1, 0)、B(1, 4) を結ぶ線分 AB を 1 : 1 に内分する点の座標を求めなさい。　（ア (2, 2)　イ (2, 4)　ウ (1, 2)）
  2. 2 点 A(4, −1)、B(−3, −2) を結ぶ線分 AB を 1 : 2 に外分する点の座標を求めなさい。　（ア (−11, 0)　イ (−10, −3)　ウ (5/3, −4/3)　エ (11, 0)）
  3. 点 (−2, 0) を通り、傾きが 3 の直線の方程式を求めなさい。　（ア y = 3x　イ y = 3x − 6　ウ y = −3x − 6　エ y = 3x + 6）
  4. 2 点 (−1, 3)、(0, 5) を通る直線の方程式を求めなさい。　（ア y = 2x + 3　イ y = −2x + 1　ウ y = x/2 + 7/2　エ y = 2x + 5）
  5. 点 (0, 1) と直線 5x + 12y = 0 の距離を求めなさい。　（ア 12/169　イ 12　ウ 12/13）
  6. 直線 y = 2x + 1 に垂直な直線の傾きはどれですか。　（ア −1/2　イ 1/2　ウ −2　エ 2）

標準

  1. 点 (4, 4) を通り、直線 x − 4y + 4 = 0 に垂直な直線の方程式を求めなさい。　（ア −4x − y + 20 = 0　イ −4x + y + 12 = 0　ウ x − 4y + 12 = 0　エ x + 4y − 20 = 0）
  2. 3 点 O(0, 0)、A(2, 5)、B(3, 4) を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
  3. 3 点 A(−4, 3)、B(−4, −5)、C(−1, −4) を頂点とする三角形の重心の座標を求めなさい。　（ア (−3, −2)　イ (−2, −3)　ウ (−9, −6)　エ (−9/2, −3)）
  4. 点 (1, 2) を直線 x + y = 1 に関して対称移動した点はどれですか。　（ア (−1, 0)　イ (0, −1)　ウ (2, 1)　エ (−2, −1)）
  5. 直線 2x + 3y = 1 と平行で、点 (3, 0) を通る直線はどれですか。　（ア 2x + 3y = 6　イ 3x − 2y = 9　ウ 2x + 3y = 1　エ 2x − 3y = 6）

発展

  1. 2 直線 x + y − 3 = 0 と 2x − y = 0 の交点を通り、点 (1, −1) を通る直線はどれですか。　（ア 3x + 0y − 3 = 0 すなわち x = 1　イ y = 2x − 3　ウ x + y = 0　エ 3x − y = 4）
  2. 点 (1, 1) から直線 3x + 4y − 15 = 0 までの距離はどれですか。　（ア 8/5　イ 7/5　ウ 2　エ 3）
  3. A(1, 2)、B(4, 6)、C(−2, 5) の三角形の面積はどれですか。　（ア 21/2　イ 21　ウ 11/2　エ 15/2）

点と直線（内分・外分・距離・直線の方程式） ── 解答

基礎

  1. ウ　(1, 2)　内分点 ((n·x₁ + m·x₂)/(m + n), (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))。A に 1、B に 1 をかけて 2 で割る。(1, 2)
  2. エ　(11, 0)　外分点は内分の公式で n を −n にする：((−n·x₁ + m·x₂)/(m − n), …)。分母は 1 − 2 = −1。(11, 0)
  3. エ　y = 3x + 6　y − (0) = 3(x − (−2))。整理して y = 3x + 6
  4. エ　y = 2x + 5　傾き = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = 2/1 = 2。y − (3) = 2(x − (−1))。y = 2x + 5
  5. ウ　12/13　d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²) = |12|/13 = 12/13。
  6. ア　−1/2　傾きの積が −1。2 × (−1/2) = −1。

標準

  1. ア　−4x − y + 20 = 0　ax + by + c = 0 に垂直な直線は bx − ay + k = 0 の形（a₁a₂ + b₁b₂ = 0）。点を代入して k を決める。−4x − y + 20 = 0
  2. 7/2　S = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁| = (1/2)|−7| = 7/2。
  3. ア　(−3, −2)　重心は 3 点の平均：((−9)/3, (−6)/3) = (−3, −2)。
  4. ア　(−1, 0)　Q(a, b)：中点が直線上 a + b = −1、PQ の傾き 1 より a − b = −1。
  5. ア　2x + 3y = 6　平行なら 2x + 3y = k。(3, 0) を代入して k = 6。

発展

  1. ア　3x + 0y − 3 = 0 すなわち x = 1　(x + y − 3) + k(2x − y) = 0 に (1, −1) を代入：−3 + 3k = 0 → k = 1 → 3x − 3 = 0。（交点 (1, 2) と (1, −1) を通る x = 1）
  2. ア　8/5　|3 + 4 − 15|/5 = 8/5。
  3. ア　21/2　A を原点に平行移動：B′(3, 4)、C′(−3, 3)。S = (1/2)|3・3 − (−3)・4| = (1/2)|9 + 12| = 21/2。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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