円の方程式・円と直線 ── 問題
基礎
- 円 x² − 8x + y² + 4y + 11 = 0 の中心の座標と半径を求めなさい。 （ア 中心 (4, −2)、半径 3 イ 中心 (−4, 2)、半径 3 ウ 中心 (4, −2)、半径 9 エ 中心 (8, −4)、半径 3）
- 中心が (−2, 3) で、点 (4, −1) を通る円の方程式を求めなさい。 （ア (x + 2)² + (y − 3)² = 2√13 イ (x − 4)² + (y + 1)² = 52 ウ (x + 2)² + (y − 3)² = 52 エ (x − 2)² + (y + 3)² = 52）
- 円 x² + y² = 25 と直線 4x + 3y + 1 = 0 の位置関係を答えなさい。 （ア 2 点で交わる イ 共有点をもたない ウ 接する）
- 円 x² + y² = 169 上の点 (−5, 12) における接線の方程式を求めなさい。 （ア −5x + 12y = 169 イ −5x + 12y = 13 ウ 12x − 5y = 169 エ −5x − 12y = 169）
- 円 x² + y² = 25 が直線 3x + 4y − 7 = 0 から切り取る弦の長さを求めなさい。
- x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0 が表す円の中心と半径はどれですか。 （ア 中心 (2, −3)、半径 3 イ 中心 (−2, 3)、半径 3 ウ 中心 (2, −3)、半径 9 エ 中心 (4, −6)、半径 2）
標準
- 円 x² + y² = 1 と直線 y = −3x + k が接するような定数 k の値を求めなさい。 （ア k = ±1 イ k = √10 ウ k = ±√10 エ k = ±10）
- 3 点 (0, 0)、(6, 0)、(0, −8) を通る円の方程式を求めなさい。 （ア (x − 6)² + (y + 8)² = 100 イ x² + y² − 6x + 8y = 0 ウ x² + y² + 6x − 8y = 0 エ x² + y² − 6x + 8y − 48 = 0）
- 中心が (−5, 4) で x 軸に接する円の方程式を求めなさい。 （ア (x + 5)² + (y − 4)² = 4 イ (x + 5)² + (y − 4)² = 25 ウ (x + 5)² + (y − 4)² = 16 エ (x − 5)² + (y + 4)² = 16）
- 点 (5, 0) から円 x² + y² = 5 に引いた接線はどれですか。 （ア x + 2y = 5 と x − 2y = 5 イ 2x + y = 5 と 2x − y = 5 ウ x + 2y = √5 と x − 2y = √5 エ x = 5）
- 円 x² + y² = 25 と直線 3x + 4y = 15 が切り取る弦の長さはどれですか。 （ア 8 イ 4 ウ 6 エ 10）
発展
- 2 円 x² + y² = 4 と (x − 3)² + y² = 1 の位置関係はどれですか。 （ア 外接する イ 2 点で交わる ウ 離れている エ 内接する）
- x² + y² − 2x + 4y + k = 0 が円を表す k の範囲はどれですか。 （ア k < 5 イ k > 5 ウ k < −5 エ k ≦ 5）
- 円 x² + y² = 10 と直線 y = x + 2 の交点の座標はどれですか。 （ア (1, 3) と (−3, −1) イ (1, 3) と (3, 1) ウ (−1, 1) と (3, 5) エ (2, 4) と (−2, 0)）
円の方程式・円と直線 ── 解答
基礎
- ア 中心 (4, −2)、半径 3 x、y をそれぞれ平方完成：(x − 4)² + (y + 2)² = 9。中心 (4, −2)、半径 3
- ウ (x + 2)² + (y − 3)² = 52 r² = (4 − (−2))² + (−1 − (3))² = 52。(x + 2)² + (y − 3)² = 52
- ア 2 点で交わる 中心 (0, 0) と直線の距離 d = |1|/5 = 1/5、半径 r = 5。d と r を比べて 2 点で交わる。
- ア −5x + 12y = 169 円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は x₁x + y₁y = r²。−5x + 12y = 169
- 48/5 中心と直線の距離 d = 7/5。弦の長さ = 2√(r² − d²) = 48/5。
- ア 中心 (2, −3)、半径 3 (x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 − 4 = 9。
標準
- ウ k = ±√10 中心 (0, 0) と直線 −3x − y + k = 0 の距離 |k|/√10 が半径 1 に等しい。|k| = 1√10。k = ±√10
- イ x² + y² − 6x + 8y = 0 x² + y² + lx + my + n = 0 に 3 点を代入：n = 0、(6)² + (6)l = 0 → l = −6、同様に m = 8。中心 (3, −4)。x² + y² − 6x + 8y = 0
- ウ (x + 5)² + (y − 4)² = 16 x 軸に接するので半径 = 中心の y 座標の絶対値 |4|。r² = 16。(x + 5)² + (y − 4)² = 16
- ア x + 2y = 5 と x − 2y = 5 接点 (x₁, y₁)：5x₁ = 5 → x₁ = 1、y₁ = ±2。接線 x ± 2y = 5。
- ア 8 d = 15/5 = 3。2√(25 − 9) = 8。
発展
- ア 外接する 中心間距離 3 = 2 + 1。
- ア k < 5 (x − 1)² + (y + 2)² = 5 − k。右辺が正であればよい。
- ア (1, 3) と (−3, −1) x² + (x + 2)² = 10 → 2x² + 4x − 6 = 0 → x = 1、−3。
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