中学数学英語理科社会国語高校数学

小テスト ／ h2-08

加法定理・2倍角・合成

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

加法定理・2倍角・合成 ── 問題

基礎

  1. 加法定理を使って sin 105° の値を求めなさい。　（ア −√2/4 + √6/4　イ √2/4 + √6/4　ウ √2/4 − √6/4　エ −√2/4 − √6/4）
  2. α は鋭角で sin α = 15/17 のとき、sin 2α と cos 2α の値を求めなさい。　（ア sin 2α = 240/289、cos 2α = 161/289　イ sin 2α = 30/17、cos 2α = 16/17　ウ sin 2α = 240/289、cos 2α = −161/289　エ sin 2α = 120/289、cos 2α = −161/289）
  3. sin θ + cos θ を r sin(θ + α) の形に合成しなさい（r > 0、−π < α ≦ π）。　（ア √2 sin(θ + π/4)　イ √2 sin(θ − π/4)　ウ 2 sin(θ + π/6)）
  4. 関数 y = √3 sin θ + cos θ の最大値と最小値を求めなさい。　（ア 最大値 2、最小値 −1　イ 最大値 2、最小値 0　ウ 最大値 1、最小値 −1　エ 最大値 2、最小値 −2）
  5. cos 2α を sin α だけで表したものはどれですか。　（ア 1 − 2sin²α　イ 2sin²α − 1　ウ 1 − sin²α　エ 2 sin α cos α）

標準

  1. α は第 2 象限の角で sin α = 5/13、β は第 1 象限の角で cos β = 5/13 のとき、sin(α + β) の値を求めなさい。　（ア 0　イ 1　ウ −1　エ −119/169）
  2. 0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 sin θ + √3 cos θ = 1 を解きなさい。　（ア θ = 0、π/3、π、5π/3　イ θ = 0、π/2　ウ θ = π/2、11π/6　エ θ = π/2、7π/6、11π/6）
  3. 2 直線 y = −2x と y = −4x のなす鋭角 θ について、tan θ の値を求めなさい。　（ア 2/9　イ 2/7　ウ 2　エ 2/3）
  4. 0 ≦ θ ≦ π のとき、y = sin θ + √3 cos θ の最大値と最小値の組み合わせはどれですか。　（ア 最大 2（θ = π/6）、最小 −√3（θ = π）　イ 最大 2、最小 −2　ウ 最大 √3、最小 −√3　エ 最大 2、最小 0）
  5. sin²(π/8) の値はどれですか。　（ア (2 − √2)/4　イ (2 + √2)/4　ウ √2/4　エ 1/4）

発展

  1. tan α = 2、tan β = 3 のとき、tan(α + β) の値はどれですか。　（ア −1　イ 1　ウ 5/7　エ −5）
  2. y = sin²θ + 2 sin θ cos θ + 3cos²θ を 2θ の三角関数で表したものはどれですか。　（ア 2 + sin 2θ + cos 2θ　イ 1 + sin 2θ + cos 2θ　ウ 2 + 2sin 2θ　エ 3 + sin 2θ − cos 2θ）
  3. y = sin 2θ + cos 2θ の最大値はどれですか。　（ア √2　イ 2　ウ 1　エ 1/2）

加法定理・2倍角・合成 ── 解答

基礎

  1. イ　√2/4 + √6/4　105° = 45° + 60° として加法定理。√2/4 + √6/4
  2. ウ　sin 2α = 240/289、cos 2α = −161/289　cos α = 8/17（鋭角で正）。sin 2α = 2 sin α cos α、cos 2α = cos²α − sin²α。sin 2α = 240/289、cos 2α = −161/289
  3. ア　√2 sin(θ + π/4)　sin の係数 a、cos の係数 b で点 (a, b) をとる。r = √(a² + b²)、α は点 (a, b) の角。√2 sin(θ + π/4)
  4. エ　最大値 2、最小値 −2　合成すると 2 sin(θ + α)。−1 ≦ sin(θ + α) ≦ 1 なので 最大値 2、最小値 −2。
  5. ア　1 − 2sin²α　cos 2α = cos²α − sin²α = (1 − sin²α) − sin²α = 1 − 2sin²α。

標準

  1. エ　−119/169　第 2 象限なので cos α = −12/13（負）、第 1 象限なので sin β = 12/13（正）。sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = −119/169。
  2. ウ　θ = π/2、11π/6　合成して sin(θ + α) = 定数 の形に。θ = π/2、11π/6
  3. ア　2/9　tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| = |2/(9)| = 2/9。
  4. ア　最大 2（θ = π/6）、最小 −√3（θ = π）　2 sin(θ + π/3)、π/3 ≦ θ + π/3 ≦ 4π/3。sin の最大 1（θ + π/3 = π/2）、最小 −√3/2（θ + π/3 = 4π/3）。
  5. ア　(2 − √2)/4　半角の公式：(1 − cos(π/4))/2 = (1 − √2/2)/2。

発展

  1. ア　−1　(2 + 3)/(1 − 6) = −1。（α + β = 3π/4）
  2. ア　2 + sin 2θ + cos 2θ　sin²θ = (1 − cos 2θ)/2、cos²θ = (1 + cos 2θ)/2、2 sin θ cos θ = sin 2θ。合計 (1 − cos 2θ)/2 + sin 2θ + 3(1 + cos 2θ)/2 = 2 + sin 2θ + cos 2θ。
  3. ア　√2　合成して √2 sin(2θ + π/4)。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。