中学数学英語理科社会国語高校数学

小テスト ／ ha-05

三角形の性質（五心・角の二等分線・チェバ・メネラウス）

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

三角形の性質（五心・角の二等分線・チェバ・メネラウス） ── 問題

基礎

  1. △ABC で AB = 2、AC = 4、BC = 4 とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD の長さを求めなさい。
  2. △ABC の重心を G、辺 BC の中点を M とする。AM = 15 のとき、AG の長さを求めなさい。
  3. 三角形の外心は、何の交点ですか。　（ア 3 頂点から対辺に下ろした垂線　イ 3 本の中線　ウ 3 つの内角の二等分線　エ 3 辺の垂直二等分線）
  4. △ABC の内心を I とする。∠A = 90° のとき、∠BIC の大きさを求めなさい。
  5. 直角三角形の外心はどこにありますか。　（ア 斜辺の中点　イ 直角の頂点　ウ 三角形の内部　エ 三角形の外部）

標準

  1. △ABC で、AR : RB = 2 : 3、BP : PC = 2 : 1（R は辺 AB 上、P は辺 BC 上）。線分 AP と CR の交点を O とし、直線 BO と辺 CA の交点を Q とするとき、CQ : QA を求めなさい。　（ア 4 : 3　イ 3 : 1　ウ 3 : 4　エ 6 : 4　undefined 1 : 3）
  2. △ABC で、辺 AB を 4 : 3 に内分する点を R、辺 BC を 1 : 2 に内分する点を P とし、直線 RP と辺 CA の延長の交点を Q とする。CQ : QA を求めなさい。　（ア 3 : 2　イ 6 : 2　ウ 8 : 3　エ 2 : 3　undefined 3 : 8）
  3. 3 辺の長さが 2、7、x の三角形が存在するような x の範囲を求めなさい。　（ア x < 9　イ 5 ≦ x ≦ 9　ウ 5 < x < 9　エ 2 < x < 7）
  4. △ABC で AB = 6、AC = 4、BC = 5。∠A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を E とするとき、CE の長さはどれですか。　（ア 10　イ 15　ウ 5　エ 2）
  5. △ABC で a = 7、b = 5、c = 3 のとき、角の大小として正しいものはどれですか。　（ア A > B > C　イ C > B > A　ウ B > A > C　エ A > C > B）

発展

  1. △ABC の重心を G とする。△GBC の面積は △ABC の面積の何倍ですか。　（ア 1/3 倍　イ 1/2 倍　ウ 2/3 倍　エ 1/6 倍）
  2. △ABC で、辺 AB の中点を M、辺 AC を 2 : 1 に内分する点を N とし、BN と CM の交点を P とする。BP : PN はどれですか。　（ア 3 : 1　イ 2 : 1　ウ 3 : 2　エ 4 : 1）
  3. AB = AC の二等辺三角形について、必ず正しいものはどれですか。　（ア 外心・内心・重心・垂心はすべて ∠A の二等分線上にある　イ 外心と内心は一致する　ウ 重心は辺 BC 上にある　エ 垂心は頂点 A と一致する）

三角形の性質（五心・角の二等分線・チェバ・メネラウス） ── 解答

基礎

  1. 4/3　BD : DC = AB : AC = 2 : 4。BD = BC × 2/(2 + 4) = 4 × 2/6 = 4/3。
  2. 10　重心は中線を 2 : 1 に分ける（頂点側が 2）。AG = 15 × 2/3 = 10。
  3. エ　3 辺の垂直二等分線　外心＝垂直二等分線（外接円の中心）、内心＝角の二等分線（内接円の中心）、重心＝中線、垂心＝垂線。3 辺の垂直二等分線
  4. 135　∠BIC = 180° − (∠B + ∠C)/2 = 180° − (180° − ∠A)/2 = 90° + ∠A/2 = 90° + 45° = 135°。
  5. ア　斜辺の中点　斜辺が外接円の直径になるので、外心は斜辺の中点。

標準

  1. ウ　3 : 4　チェバの定理：(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = 1 → (2/1)(CQ/QA)(2/3) = 1 → CQ/QA = 3/4。3 : 4
  2. ア　3 : 2　メネラウスの定理（△ABC と直線 RPQ）：(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = 1 → (1/2)(CQ/QA)(4/3) = 1 → CQ/QA = 3/2。3 : 2
  3. ウ　5 < x < 9　三角形の成立条件：|7 − 2| < x < 7 + 2。5 < x < 9
  4. ア　10　BE : EC = AB : AC = 3 : 2（外分）。BE − EC = BC = 5 より EC = 10。
  5. ア　A > B > C　大きい辺の向かいの角が大きい。

発展

  1. ア　1/3 倍　中線 AM 上で GM : AM = 1 : 3。BC を底辺とすると高さが 1/3 なので面積も 1/3。
  2. ア　3 : 1　△ABN と直線 MPC でメネラウス：(AM/MB)(BP/PN)(NC/CA) = 1 → (1/1)(BP/PN)(1/3) = 1 → BP/PN = 3。
  3. ア　外心・内心・重心・垂心はすべて ∠A の二等分線上にある　∠A の二等分線は BC の垂直二等分線でもあり中線でもあるので、4 つの中心がその上に並ぶ。一致するのは正三角形のとき。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/ha-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。