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小テスト ／ hb-01

等差数列・等比数列

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等差数列・等比数列 ── 問題

基礎

  1. 等差数列 0, 2, 4, 6, … の一般項 aₙ を求めなさい。　（ア aₙ = 2n + 2　イ aₙ = 2　ウ aₙ = 2n　エ aₙ = 2n − 2）
  2. 等差数列 {aₙ} で a4 = −3、a11 = −17 のとき、初項 a と公差 d を求めなさい。　（ア a = 3、d = −2　イ a = −2、d = 3　ウ a = 1、d = −2　エ a = 3、d = 2）
  3. 初項 1、公差 −2 の等差数列の初項から第 14 項までの和を求めなさい。
  4. 等比数列 3, 12, 48, 192, … の一般項 aₙ を求めなさい。　（ア aₙ = 3 + 4(n − 1)　イ aₙ = 3 · 4^n　ウ aₙ = 4 · 3^(n−1)　エ aₙ = 3 · 4^(n−1)）
  5. 初項 5、公比 2 の等比数列の初項から第 5 項までの和を求めなさい。
  6. a、b、c がこの順で等差数列であるとき、成り立つ関係はどれですか。　（ア 2b = a + c　イ b² = ac　ウ b = a + c　エ a + b + c = 0）

標準

  1. 等比数列 {aₙ}（公比は実数）で a3 = 4、a6 = 32 のとき、初項 a と公比 r を求めなさい。　（ア a = 2、r = 1　イ a = 1、r = 2　ウ a = 2、r = 2　エ a = 1、r = −2）
  2. 等差数列 aₙ = −7n + 26 の初項から第 n 項までの和 Sₙ が最大になる n の値を求めなさい。
  3. 数列 {aₙ} の初項から第 n 項までの和が Sₙ = 2n² + n で表されるとき、一般項 aₙ を求めなさい。　（ア aₙ = 2n + 1　イ aₙ = 4n + 1　ウ aₙ = 4n − 1　エ aₙ = 4n + 3）
  4. 初項 2、公比 3 の等比数列で、初めて 1000 を超える項は第何項ですか。　（ア 第 7 項　イ 第 6 項　ウ 第 8 項　エ 第 5 項）
  5. 3、x、12 がこの順で等比数列であるとき、x の値はどれですか。　（ア ±6　イ 6　ウ 7.5　エ ±36）

発展

  1. 等差数列で、初項から第 10 項までの和が 100、第 11 項から第 20 項までの和が 300 のとき、公差はどれですか。　（ア 2　イ 1　ウ 3　エ 4）
  2. 1 から 100 までの整数のうち、3 で割って 1 余る数の和はどれですか。　（ア 1717　イ 1683　ウ 1650　エ 1700）
  3. 年利 5% で毎年初めに 10 万円ずつ積み立てるとき、3 年目の終わりの元利合計（万円）はどれですか（1.05³ = 1.157625）。　（ア 10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1　イ 30　ウ 31.5　エ 10 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 31.5）

等差数列・等比数列 ── 解答

基礎

  1. エ　aₙ = 2n − 2　初項 0、公差 2。aₙ = 0 + (n − 1)·(2)。整理して aₙ = 2n − 2
  2. ア　a = 3、d = −2　a11 − a4 = (7)d = −14 → d = −2。a4 = a + 3d = −3 → a = 3。a = 3、d = −2
  3. −168　末項 a14 = −25。Sₙ = n(初項 + 末項)/2 = 14(1 + (−25))/2 = −168。
  4. エ　aₙ = 3 · 4^(n−1)　初項 3、公比 4。aₙ = a·r^(n−1)。aₙ = 3 · 4^(n−1)
  5. 155　Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) = 5(32 − 1)/(1) = 155。
  6. ア　2b = a + c　b − a = c − b（等差中項）。等比なら b² = ac。

標準

  1. イ　a = 1、r = 2　a6/a3 = r^3 = 8 → r = 2（k = 3 は奇数なので実数の r は 1 つ）。a3 = a·r^2 = 4 → a = 1。a = 1、r = 2
  2. 3　項が正である間は足すほど和が増える。26 − 7n ≧ 0 → n ≦ 26/7。n = 3 で最大。
  3. ウ　aₙ = 4n − 1　n ≧ 2 で aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁。計算すると aₙ = 4n − 1（n = 1 のとき a₁ = S₁ = 3 で一致）。
  4. ア　第 7 項　2·3ⁿ⁻¹ > 1000 → 3ⁿ⁻¹ > 500。3⁵ = 243、3⁶ = 729 → n − 1 = 6。
  5. ア　±6　x² = 3 × 12 = 36。

発展

  1. ア　2　S₂₀ − S₁₀ = 300、S₁₀ = 100。10(2a + 9d)/2 = 100、20(2a + 19d)/2 = 400 → 2a + 9d = 20、2a + 19d = 40 → d = 2。
  2. ア　1717　1, 4, 7, …, 100（34 項）。34 × (1 + 100)/2 = 1717。
  3. ア　10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1　各回の積立が 1.05、1.05²、1.05³ 倍になる：10(1.05 + 1.05² + 1.05³) = 10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1。

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