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小テスト ／ hb-02

和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和

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和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和 ── 問題

基礎

  1. Σ_(k=1)^6 (k + 1) の値を求めなさい。
  2. Σ_(k=1)^n ((k + 1)(k + 2)) を n の式で表しなさい。　（ア n(n + 1)(n + 2)　イ n(n² + 6n + 11)/3　ウ 2n(n² + 6n + 11)/3　エ n(n² + 6n + 14)/3）
  3. 数列 0、5、12、21、32、… の一般項 aₙ を求めなさい（階差数列を考えなさい）。　（ア aₙ = 2n + 3　イ aₙ = 2n² + n − 3　ウ aₙ = n² + 2n − 3　エ aₙ = n² + 4n）
  4. Σ_(k=1)^n 1/{k(k + 1)} を n の式で表しなさい。　（ア 1/(n + 1)　イ n/(n + 1)　ウ 1 + 1/(n + 1)　エ n/(n + 2)）
  5. Σ_(k=1)^n k² の公式はどれですか。　（ア n(n + 1)(2n + 1)/6　イ n(n + 1)/2　ウ {n(n + 1)/2}²　エ n(n + 1)(n + 2)/3）

標準

  1. Σ_(k=4)^6 k² の値を求めなさい。
  2. 数列 −1、0、3、12、39、… の一般項 aₙ を求めなさい（階差数列を考えなさい）。　（ア aₙ = −2 + 3^(n−1)　イ aₙ = −1 + 3^n　ウ aₙ = −1 + 3^(n−1)　エ aₙ = −2 + 3^n）
  3. Σ_(k=1)^n 1/{k(k + 3)} を n の式で表しなさい。　（ア (1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3))　イ 11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3)　ウ n/(n + 3)　エ (1/3)(1 − 1/(n + 3))）
  4. S = 1 + 2·2 + 3·2² + … + n·2ⁿ⁻¹ を求めたものはどれですか。　（ア (n − 1)2ⁿ + 1　イ n·2ⁿ − 1　ウ (n + 1)2ⁿ − 1　エ n·2ⁿ⁻¹）
  5. Σ_(k=1)^n 2ⁿ の値はどれですか（n は定数）。　（ア n·2ⁿ　イ 2ⁿ⁺¹ − 2　ウ 2ⁿ − 1　エ 2ⁿ）

発展

  1. 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | … と区切るとき、第 10 群の最初の数はどれですか。　（ア 46　イ 45　ウ 55　エ 36）
  2. 前の問題の群数列で、100 は第何群にありますか。　（ア 第 14 群　イ 第 13 群　ウ 第 15 群　エ 第 10 群）
  3. Σ_(k=1)^n (k + 1)(k + 2) を求めたものはどれですか。　（ア n(n² + 6n + 11)/3　イ n(n + 1)(n + 2)/3　ウ n(n + 3)(n + 4)/3　エ (n + 1)(n + 2)(n + 3)/3）

和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和 ── 解答

基礎

  1. 27　Σ(k + 1) = Σk + Σ(1) = ·21 + (6) = 27。
  2. イ　n(n² + 6n + 11)/3　Σk = n(n + 1)/2、Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6 に分けて計算し、共通因数でくくる。n(n² + 6n + 11)/3
  3. ウ　aₙ = n² + 2n − 3　階差数列は 5、7、9、11、…（bₖ = 2k + 3）。aₙ = a₁ + Σ_(k=1)^(n−1) bₖ = 0 + Σ(2k + 3)。整理して aₙ = n² + 2n − 3（n = 1 でも成り立つ）。
  4. イ　n/(n + 1)　1/{k(k + 1)} = 1/k − 1/(k + 1) と分けると、途中が消えて 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1)。
  5. ア　n(n + 1)(2n + 1)/6　Σk = n(n + 1)/2、Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6、Σk³ = {n(n + 1)/2}²。

標準

  1. 77　Σ_(k=1)^6 k² − Σ_(k=1)^3 k² = 91 − 14 = 77。
  2. ア　aₙ = −2 + 3^(n−1)　階差数列は 1、3、9、27、…（bₖ = 3^(k−1)、等比）。aₙ = −1 + Σ_(k=1)^(n−1) bₖ = −1 + 1(3^(n−1) − 1)/(3 − 1)。整理して aₙ = −2 + 3^(n−1)。
  3. ア　(1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3))　1/{k(k + 3)} = (1/3){1/k − 1/(k + 3)}。分母の差の逆数 1/3 をかける。最初の 3 個と最後の 3 個が残る。(1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3))
  4. ア　(n − 1)2ⁿ + 1　S − 2S = (1 + 2 + … + 2ⁿ⁻¹) − n·2ⁿ = 2ⁿ − 1 − n·2ⁿ → S = (n − 1)2ⁿ + 1。
  5. ア　n·2ⁿ　2ⁿ は k を含まないので定数。n 個足して n·2ⁿ。

発展

  1. ア　46　第 9 群までの項数 9·10/2 = 45。次の 46 番目が第 10 群の最初。
  2. ア　第 14 群　第 13 群までで 91 個、第 14 群までで 105 個。91 < 100 ≦ 105。
  3. ア　n(n² + 6n + 11)/3　Σ(k² + 3k + 2) = n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3n(n + 1)/2 + 2n = n{(n + 1)(2n + 1) + 9(n + 1) + 12}/6 = n(2n² + 12n + 22)/6。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hb-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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