小テスト ／ m3-11

相似な図形・三角形の相似条件

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相似な図形・三角形の相似条件 ── 問題

基礎

  1. △ABC ∽ △DEF で、AB = 7、DE = 14、BC = 4 のとき、EF の長さを求めなさい。
  2. △ABC ∽ △DEF で AB = 4、DE = 6 のとき、相似比 △ABC : △DEF はどれですか。　（ア 4 : 6　イ 2 : 3　ウ 3 : 2　エ 1 : 2）
  3. 三角形の相似条件でないものはどれですか。　（ア 3 組の辺の比がすべて等しい　イ 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい　ウ 2 組の角がそれぞれ等しい　エ 2 組の辺の比が等しい）
  4. △ABC で、AB 上に D、AC 上に E をとり DE ∥ BC とするとき、△ADE ∽ △ABC の根拠として正しいものはどれですか。　（ア ∠A が共通、DE ∥ BC より同位角 ∠ADE = ∠ABC。2 組の角　イ AD = AB、AE = AC。2 組の辺　ウ DE = BC。1 組の辺　エ 3 組の辺の比）
  5. △ABC ∽ △DEF と書かれているとき、∠B に対応する角はどれですか。　（ア ∠D　イ ∠E　ウ ∠F　エ ∠A）
  6. 相似な図形について正しい説明はどれですか。　（ア 対応する辺の長さがすべて等しい　イ 対応する角が等しく、対応する辺の比がすべて等しい　ウ 面積が等しい　エ 周の長さが等しい）

標準

  1. △ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、∠ADE = ∠ACB です。AD = 6、AC = 18、AE = 4 のとき、AB の長さを求めなさい。
  2. △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD = 2、DB = 6、BC = 5 のとき、DE の長さを求めなさい。
  3. ∠A = 90° の △ABC で、A から BC に垂線 AH を下ろした。△ABC と相似な三角形の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア △HBA と △HAC　イ △HAB のみ　ウ △ABH と △ACH は合同　エ 相似な三角形はない）
  4. △ABC で AB = 6、AC = 4、AB 上に AD = 2、AC 上に AE = 3 をとる。相似な三角形と条件の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア △ADE ∽ △ABC、2 組の辺の比とその間の角　イ △ADE ∽ △ACB、2 組の辺の比とその間の角（AD : AC = AE : AB = 1 : 2、∠A 共通）　ウ △ADE ∽ △ACB、2 組の角　エ 相似ではない）
  5. 相似の証明で「∠ADE = ∠ACB（仮定）」「∠A 共通」を示したあと、書く相似条件はどれですか。　（ア 3 組の角がそれぞれ等しい　イ 2 組の角がそれぞれ等しい　ウ 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい　エ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）

発展

  1. 木の影の長さが 2 m、同時刻に垂直に立てた 1 m の棒の影が 0.5 m でした。木の高さは何 m ですか。
  2. △ABC と △ADE で「∠ADE = ∠ACB、∠A 共通」から相似を示したとき、正しい対応順はどれですか。　（ア △ADE ∽ △ABC　イ △ADE ∽ △ACB　ウ △ADE ∽ △BCA　エ △ADE ∽ △CAB）
  3. ∠A = 90° の △ABC で、A から BC に垂線 AH を下ろします。BH = 16、HC = 9 のとき、AH の長さを求めなさい。
  4. 合同と相似の関係として正しいものはどれですか。　（ア 合同な図形は相似ではない　イ 合同は相似比 1 : 1 の特別な相似　ウ 相似な図形は必ず合同　エ 無関係）

相似な図形・三角形の相似条件 ── 解答

基礎

  1. 8　相似比 AB : DE = 7 : 14 = 1 : 2。BC : EF も同じ比なので EF = 4 × 2 = 8。
  2. イ　2 : 3　対応する辺 AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3。最も簡単な整数の比で表す。
  3. エ　2 組の辺の比が等しい　2 組の辺の比だけでは相似とはいえない。その間の角が必要。
  4. ア　∠A が共通、DE ∥ BC より同位角 ∠ADE = ∠ABC。2 組の角　共通角と平行線の同位角で 2 組の角がそれぞれ等しい。
  5. イ　∠E　対応する頂点の順に書かれている。A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F。
  6. イ　対応する角が等しく、対応する辺の比がすべて等しい　相似は拡大・縮小で重なる関係。角は等しく、辺は同じ比。

標準

  1. 12　△ADE ∽ △ACB（∠A 共通、∠ADE = ∠ACB）。対応は D ↔ C、E ↔ B。AD : AC = AE : AB → 6 : 18 = 4 : AB → AB = 12。
  2. 5/4　△ADE ∽ △ABC で相似比 AD : AB = 2 : 8。DE = BC × 2/8 = 5/4。
  3. ア　△HBA と △HAC　直角と共通角で △ABC ∽ △HBA ∽ △HAC。直角三角形に垂線を下ろすと 3 つの相似な三角形ができる。
  4. イ　△ADE ∽ △ACB、2 組の辺の比とその間の角（AD : AC = AE : AB = 1 : 2、∠A 共通）　AD : AC = 2 : 4、AE : AB = 3 : 6 でともに 1 : 2。間の角 ∠A 共通。対応は D ↔ C、E ↔ B。
  5. イ　2 組の角がそれぞれ等しい　角 2 組で相似。3 組の角は正式な言い方ではない。

発展

  1. 4　太陽光は平行なので相似な直角三角形。木の高さ x：x : 2 = 1 : 0.5 → x = 2 ÷ 0.5 = 4 m。
  2. イ　△ADE ∽ △ACB　∠ADE = ∠ACB から D ↔ C。∠A ↔ ∠A。残り E ↔ B。△ADE ∽ △ACB。
  3. 12　△HBA ∽ △HAC より BH : AH = AH : HC → AH² = BH × HC = 16 × 9 = 144 → AH = 12。
  4. イ　合同は相似比 1 : 1 の特別な相似　拡大率 1（大きさが同じ）の相似が合同。

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