中学数学英語理科社会国語高校数学

小テスト ／ m3-14

円周角の定理

← 解説に戻る　数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

円周角の定理 ── 問題

基礎

  1. 弧 AB に対する中心角が 126° のとき、弧 AB に対する円周角は何度ですか。
  2. 弧 AB に対する円周角が 72° のとき、弧 AB に対する中心角は何度ですか。
  3. AB を直径とする円の周上に点 P があり、∠BAP = 18° です。∠ABP は何度ですか。
  4. 円周を 5 等分する点をとりました。隣り合う 2 点の間の弧に対する円周角は何度ですか。
  5. 円周角の定理の内容として正しいものはどれですか。　（ア 円周角は中心角の 2 倍　イ 1 つの弧に対する円周角はすべて等しく、中心角の半分　ウ 円周角はつねに 90°　エ 円周角は弦の長さに比例する）
  6. 円周上の 3 点 A、P、B で ∠APB = 90° のとき、いえることはどれですか。　（ア AB は直径　イ AP = BP　ウ P は中心　エ AB は接線）

標準

  1. 円の中心を O、円周上の 2 点を A、B とします。∠OAB = 51° のとき、弧 AB に対する円周角は何度ですか。
  2. 円周上に 4 点 A、B、C、D があり、弦 AC と BD の交点を P とします。∠ABD = 38°、∠BAC = 47° のとき、∠APD は何度ですか。
  3. 1 つの円で、弧 AB : 弧 CD = 1 : 5 です。弧 AB に対する円周角が 19° のとき、弧 CD に対する円周角は何度ですか。
  4. 円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 60° のとき、∠C は何度ですか。
  5. 円周上の 3 点 A、B、C と中心 O について、円周角 ∠ACB が 100° のとき、中心角 ∠AOB（弧 AB の C を含まない側）について正しいものはどれですか。　（ア 50°　イ 200°　ウ 100°　エ 80°）
  6. 円の角度問題で、図に最初につける印として最も優先度が高いものはどれですか。　（ア すべての弦の長さ　イ 直径があれば円周角 90°、半径 2 本の三角形に二等辺の印　ウ 円の面積　エ 接線の長さ）

発展

  1. AB を直径とする円の周上に点 C、D があり、∠CAB = 61°、∠DAB = 23° です（C、D は AB について同じ側、D は C より B に近い）。∠CBD は何度ですか。
  2. 円周を 12 等分する点 A₁、A₂、…があります。A₁ から見て 2 個先の点と 4 個先の点を結んだ弧（A₁ を含まない側・短いほう）に対する円周角は何度ですか。
  3. 「4 点 A、B、C、P が 1 つの円周上にある」ことを示す方法として正しいものはどれですか。　（ア AB = CP を示す　イ C、P が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = ∠APB を示す（円周角の定理の逆）　ウ ∠ACB + ∠APB = 90° を示す　エ AC ∥ BP を示す）
  4. 円周角が弧の長さに比例することについて正しいものはどれですか。　（ア 弦の長さにも比例する　イ 弧の長さが 2 倍なら円周角も 2 倍だが、弦の長さは 2 倍にならない　ウ 弦の長さが 2 倍なら円周角も 2 倍　エ 弧と弦はどちらも比例する）

円周角の定理 ── 解答

基礎

  1. 63　円周角は中心角の半分。126 ÷ 2 = 63°。
  2. 144　中心角は円周角の 2 倍。72 × 2 = 144°。
  3. 72　直径に対する円周角 ∠APB = 90°。∠ABP = 180 − 90 − 18 = 72°。
  4. 36　1 つの弧の中心角は 360 ÷ 5 = 72°。円周角はその半分 36°。
  5. イ　1 つの弧に対する円周角はすべて等しく、中心角の半分　同じ弧に対する円周角は等しく、その弧の中心角の半分。
  6. ア　AB は直径　円周角 90° に対する中心角は 180° なので、弧 AB は半円。AB は直径。

標準

  1. 39　△OAB は OA = OB の二等辺三角形。∠OBA = 51°、∠AOB = 180 − 51 × 2 = 78°（中心角）。円周角は 78 ÷ 2 = 39°。
  2. 85　∠APD は △ABP の外角 = ∠ABP + ∠BAP = 38 + 47 = 85°。
  3. 95　円周角は弧の長さに比例。19 × 5/1 = 95°。
  4. 120　円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180°。∠C = 180 − 60 = 120°。
  5. イ　200°　中心角は円周角の 2 倍で 200°。円周角が 90° を超えると中心角は 180° を超える。
  6. イ　直径があれば円周角 90°、半径 2 本の三角形に二等辺の印　直径 → 90°、半径 → 二等辺三角形、同じ弧 → 等しい円周角、の順に印をつけると角が追える。

発展

  1. 38　∠ACB = ∠ADB = 90°（直径）。∠ABC = 90 − 61 = 29°、∠ABD = 90 − 23 = 67°。∠CBD = 67 − 29 = 38°。
  2. 30　2 点の間の弧は 2 区間分。1 区間の円周角は 180/12 = 15°。15 × 2 = 30°。
  3. イ　C、P が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = ∠APB を示す（円周角の定理の逆）　同じ辺 AB を同じ側から見込む角が等しければ、4 点は同じ円周上にある。
  4. イ　弧の長さが 2 倍なら円周角も 2 倍だが、弦の長さは 2 倍にならない　比例するのは弧の長さ。弦は弧が 2 倍になっても 2 倍にはならない（直径が最大）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-14/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。