因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 問題
基礎
- 次の式を因数分解しなさい。 6x² + 11x + 3 （ア (2x + 3)(3x + 1) イ 3(x + 1)(2x + 1) ウ (2x − 3)(3x − 1) エ (2x + 3)(3x − 1) undefined (2x − 3)(3x + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 4x² + 4x − 8 （ア 4(x − 2)(x + 1) イ 4(x − 1)(x + 2) ウ (x − 1)(x + 2)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x³ − 27 （ア (x − 3)(x² + 9) イ (x − 3)(x² − 3x + 9) ウ (x − 3)(x² + 3x + 9) エ (x − 3)³）
- 次の式を因数分解しなさい。 (x + y)² + 4(x + y) − 5 （ア (x − 1)(y + 5) イ (x + y − 5)(x + y + 1) ウ (x + y − 1)(x + y + 5) エ (x − y + 5)(x + y − 1)）
- 因数分解の手順として、最初に確かめることはどれですか。 （ア たすきがけができるか イ 共通因数があるか ウ おきかえができるか エ 3 次の公式が使えるか）
標準
- 次の式を因数分解しなさい。 x⁴ − 5x² + 4 （ア (x + 1)(x + 2)(x² + 2) イ (x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2) ウ (x − 2)²(x − 1)²）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² + 2xy + 3x + y² + 3y − 4 （ア (x + y − 1)(x + y + 4) イ (x + 4)(x + y − 1) ウ (x − y − 1)(x + y + 4) エ (x + y − 4)(x + y + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 8x³ + 27 （ア (2x + 3)(4x² − 6x + 9) イ (2x + 3)(2x² − 3x + 9) ウ (2x + 3)(4x² + 6x + 9) エ (2x + 3)³）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² − xy − 2x − 2y² − 5y − 3 （ア (x − y + 1)(x + 2y − 3) イ (x − 2y + 1)(x + y − 3) ウ (x − 2y − 3)(x + y + 1) エ (x − 2y + 3)(x + y − 1)）
- x⁴ + x² + 1 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 1)² イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) ウ (x² + 1)(x² − 1) エ 因数分解できない）
発展
- x⁴ + 4 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 2)² イ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) ウ (x² + 2)(x² − 2) エ 因数分解できない）
- a³ + b³ + c³ − 3abc を因数分解したものはどれですか。 （ア (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) イ (a + b + c)³ ウ (a + b + c)(a² + b² + c²) エ (a + b)(b + c)(c + a)）
- x² + xy − 2y² + 2x + 7y − 3 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) イ (x − 2y + 1)(x + y − 3) ウ (x + 2y + 3)(x − y − 1) エ (x + y − 1)(x − 2y + 3)）
因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 解答
基礎
- ア (2x + 3)(3x + 1) x² の係数 6 と定数項 3 をたすきがけ。真ん中が 11 になる組を探す。(2x + 3)(3x + 1)
- イ 4(x − 1)(x + 2) まず共通因数 4 でくくる。4(x² + x − 2)。かけて −2、たして 1 → 4(x − 1)(x + 2)
- ウ (x − 3)(x² + 3x + 9) x³ ± 3³ の形。a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)、a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。(x − 3)(x² + 3x + 9)
- ウ (x + y − 1)(x + y + 5) x + y = A とおくと A² + 4A − 5 = (A − 1)(A + 5)。A を戻して (x + y − 1)(x + y + 5)
- イ 共通因数があるか 共通因数を先にくくると、あとの公式・たすきがけが小さい数でできる。
標準
- イ (x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2) x² = A とおくと A² − 5A + 4 = (A − 1)(A − 4)。さらに x² − 1、x² − 4 を和と差の積に分ける。(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)
- ア (x + y − 1)(x + y + 4) x + y = A とおくと A² + 3A − 4 = (A + 4)(A − 1)。(x + y − 1)(x + y + 4)
- ア (2x + 3)(4x² − 6x + 9) (2x)³ ± 3³ とみて 3 乗の公式。(2x + 3)(4x² − 6x + 9)
- ウ (x − 2y − 3)(x + y + 1) x について整理し、定数項（y の式）を因数分解してからたすきがけ。(x − 2y − 3)(x + y + 1)
- イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) (x² + 1)² − x² と変形して和と差の積。
発展
- イ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) (x² + 2)² − 4x² = (x² + 2 + 2x)(x² + 2 − 2x)。
- ア (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) 有名な公式。a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) を使って a + b = A とおき、A³ + c³ − 3ab(A + c) から (A + c) をくくる。
- ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) x について整理：x² + (y + 2)x − (2y − 1)(y − 3)。たして y + 2 になる組は (2y − 1) と −(y − 3)。
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