中学数学英語理科社会国語高校数学

数学Ⅰ 数学 ／ 数と式 ／ h1-02

更新 2026-09-12

因数分解 ── たすきがけ・おきかえ・3 次の公式

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

因数分解は、二次方程式・二次不等式（h1-08・h1-09）・高次方程式（h2-03）を解くための道具です。共通テストでは因数分解そのものより、「因数分解できるか気づく」ことが問題を解く鍵になる場面が多い。私立大では、2 文字の 2 次式・おきかえ型・3 次の公式が小問の定番です。

1. 因数分解の手順

まずここだけ

因数分解は、次の順に試します。

  1. 共通因数でくくる（最初に必ず確認）
  2. 公式が使えないか（2 乗の公式・和と差の積・x² + (a + b)x + ab）
  3. たすきがけ（x² の係数が 1 でない 2 次式）
  4. おきかえ（共通部分を 1 文字に）
  5. 1 つの文字について整理（文字が 2 つ以上）

「これ以上分解できない」まで続ける。

2. 公式（中学の復習 ＋ 高校）

まずここだけ

公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b)(a − b)x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)← たすきがけ
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³

3. たすきがけ

まずここだけ

2x² + 7x + 3 を因数分解する。x² の係数 2 と定数 3 を、

  a    b      a × d
  c    d      c × b
 ─────────  ────────
 ac   bd    ad + bc

の形で、ac = 2、bd = 3、ad + bc = 7 となる a・b・c・d を探す。

  1    3   →  1 × 1 = 1
  2    1   →  2 × 3 = 6
 ───────     ─────
  2    3       7  ✓

答え：(x + 3)(2x + 1)（左の列が (ax + b)、右の列が (cx + d)）。

コツ

例

6x² − 7x − 3：6 = 2 × 3、−3 = 1 × (−3)

  2    1   →  2 × (−3) = −6
  3   −3   →  3 × 1 = 3
 ───────     ─────
  6   −3      −3  ✗

入れかえて

  2   −3   →  2 × 1 = 2
  3    1   →  3 × (−3) = −9
 ───────     ─────
  6   −3      −7  ✓

答え：(2x − 3)(3x + 1)

よくある間違い

4. おきかえ

ここまでできれば十分

① 共通部分をおきかえる

(x + y)² − 3(x + y) + 2　x + y = A とおくと A² − 3A + 2 = (A − 1)(A − 2) = (x + y − 1)(x + y − 2)

② x² をおきかえる（4 次式）

x⁴ − 5x² + 4　x² = A とおくと A² − 5A + 4 = (A − 1)(A − 4) = (x² − 1)(x² − 4) = (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2)

（x² − 1 と x² − 4 はさらに分解できる。「これ以上できない」まで続ける）

③ 平方の差を作る

x⁴ + x² + 1 = (x⁴ + 2x² + 1) − x² = (x² + 1)² − x² = (x² + x + 1)(x² − x + 1)

x⁴ + 4 = (x² + 2)² − 4x² = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) も同じ型。

5. 1 つの文字について整理する

ここまでできれば十分

文字が 2 つ以上あって公式が見えないときは、次数の低い文字について整理する。

x² + xy − 2y² + 2x + 7y − 3 x について整理（y は数とみなす）：x² + (y + 2)x − (2y² − 7y + 3) 定数項を因数分解：2y² − 7y + 3 = (2y − 1)(y − 3) なので −(2y − 1)(y − 3) たすきがけ：x² + (y + 2)x − (2y − 1)(y − 3)　→ かけて −(2y − 1)(y − 3)、たして y + 2 になる 2 つは (2y − 1) と −(y − 3) 確認：(2y − 1) + (−y + 3) = y + 2 ✓ 答え：(x + 2y − 1)(x − y + 3)

手順

  1. 最も次数の低い文字を選ぶ（x と y が同じ次数なら、どちらでもよい）
  2. その文字について降べきの順に整理する
  3. 定数項（他の文字だけの部分）を因数分解する
  4. たすきがけをする

6. 3 次式の因数分解

ここまでできれば十分

x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4) 8x³ − 27 = (2x)³ − 3³ = (2x − 3)(4x² + 6x + 9) x³ − 6x² + 12x − 8 = (x − 2)³（係数 1・−6・12・−8 は (a − b)³ の 1・−3・3・−1 の形）

真ん中の符号：a³ + b³ → (a + b)(a² − ab + b²)、a³ − b³ → (a − b)(a² + ab + b²)。かっこの中の 2 乗式はこれ以上分解できない（実数の範囲）。

もう一歩：因数定理

x³ − 2x² − 5x + 6 のような、公式が使えない 3 次式は、数学Ⅱの因数定理（h2-03）で x = 1 を代入して 0 になることから (x − 1) を因数に持つとわかり、割り算で (x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)。

7. 自己チェック

  1. 最初に共通因数を確認したか
  2. たすきがけの b と d の符号は、定数項と真ん中の係数に合っているか
  3. おきかえたあと、元に戻してさらに分解できないか確かめたか
  4. 文字が 2 つなら、次数の低い文字で整理したか
  5. a³ ± b³ の真ん中の符号

8. 小テストへ

→ 小テスト（h1-02）

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参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
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受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-02/ ／ 更新 2026-09-12

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