数学Ⅰ 数学 ／ 二次関数 ／ h1-09

更新 2026-09-12

二次不等式 ── グラフで解く

この単元でできるようになること

• 二次不等式を「グラフが x 軸より上か下か」で解ける
• D > 0、D = 0、D < 0 のそれぞれで、解が「範囲」「1 点を除く全部」「すべての実数」「解なし」になることがわかる
• 連立不等式・絶対値との組み合わせが解ける
• 「すべての x で ax² + bx + c > 0」の条件（a > 0 かつ D < 0）が使える
• 二次方程式の解の配置（2 解がともに正、など）の入口がわかる

入試での位置づけ

二次不等式は共通テストの二次関数の大問・数学Ⅱの領域や対数不等式・数学Ⅲの定義域など、「範囲を求める」場面で毎回使う道具です。とくに「すべての実数 x で成り立つ」条件（D < 0）は、私立・国公立を問わず頻出。必ずグラフをかいて考える習慣をつけると、符号のミスが消えます。

1. 二次不等式の解き方 ── グラフで見る

まずここだけ

ax² + bx + c > 0 は「y = ax² + bx + c のグラフが x 軸より上にある x の範囲」。< 0 なら下。

手順（a > 0 にそろえてから）：

1. ax² + bx + c = 0 を解いて、x 軸との交点 α、β（α < β）を求める
2. 下に凸のグラフをかく
3. > 0 なら外側（x < α または x > β）、< 0 なら内側（α < x < β）

x² − 5x + 6 > 0：(x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2、3。上側 → x < 2 または x > 3 x² − 5x + 6 ≦ 0：下側（= を含む）→ 2 ≦ x ≦ 3 x² − 2x − 1 < 0：x = 1 ± √2。内側 → 1 − √2 < x < 1 + √2

a < 0 のとき

両辺に −1 をかけて a > 0 にする（不等号の向きが変わる）。

−x² + 3x + 4 ≧ 0 → x² − 3x − 4 ≦ 0 → (x − 4)(x + 1) ≦ 0 → −1 ≦ x ≦ 4

覚え方

「大なりは外、小なりは内」（a > 0 で）。理由はグラフ：下に凸なら、交点の外側で上、内側で下。

よくある間違い

• 「> 0 だから x > 3」と片方だけ答える → 外側は「または」で 2 つ
• 内側と外側を逆にする → グラフをかく
• a < 0 のまま「外側」を答える → 先に a > 0 にする

2. D = 0、D < 0 のとき

まずここだけ

グラフが x 軸と接する・離れているとき、解は「範囲」にならない。

x² − 4x + 4 > 0 → (x − 2)² > 0 → x ≠ 2 のすべての実数（2 で 0 になるので除く） x² − 4x + 4 ≦ 0 → (x − 2)² ≦ 0 → x = 2 x² + x + 1 > 0 → D = −3 < 0、常に正 → すべての実数 x² + x + 1 < 0 → 解なし

平方完成してグラフの位置を見ると間違えない：x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 > 0。

3. 連立・絶対値との組み合わせ

ここまでできれば十分

連立：それぞれ解いて共通範囲。数直線を書く。

x² − 4x + 3 < 0 かつ x² − x − 6 ≧ 0 ① 1 < x < 3　② x ≦ −2 または x ≧ 3 共通範囲：なし（① と ② が重ならない）→ 解なし

x² − 4 ≦ 0 かつ x² − 3x > 0 ① −2 ≦ x ≦ 2　② x < 0 または x > 3 共通範囲：−2 ≦ x < 0

絶対値：|x − 1| < 3 → −2 < x < 4 のように一次不等式に直してから連立。

4. すべての実数で成り立つ条件

ここまでできれば十分

「すべての実数 x について ax² + bx + c > 0」⇔ a > 0 かつ D < 0

（グラフが下に凸で、x 軸と共有点を持たない）

x² + 2kx + k + 2 > 0 がすべての実数で成り立つ k： a = 1 > 0。D/4 = k² − (k + 2) < 0 → k² − k − 2 < 0 → (k − 2)(k + 1) < 0 → −1 < k < 2

a に文字があるときは「a > 0」の条件も忘れない。a = 0 なら一次式になるので別に確認する。

5. 解の配置（発展）

もう一歩

「x² − 2ax + a + 2 = 0 の 2 つの解がともに正」のような条件は、グラフで 3 つを確かめる。

1. D ≧ 0（実数解を持つ）
2. 軸 x = a > 0（頂点が右側）
3. f(0) > 0（x = 0 での値が正：グラフが y 軸を正で横切る）

D/4 = a² − a − 2 ≧ 0 → a ≦ −1 または a ≧ 2 軸 a > 0 f(0) = a + 2 > 0 → a > −2 共通：a ≧ 2

「2 解がともに負」なら軸 < 0、f(0) > 0。「正と負の解を 1 つずつ」なら f(0) < 0 だけ（D は自動的に正）。数学Ⅱの解と係数の関係でも同じ問題が解けます。

6. 自己チェック

1. a > 0 にそろえたか（両辺 × (−1) で向きを変えたか）
2. 「大なりは外、小なりは内」（グラフで確認）
3. D = 0・D < 0 のときの答え方（x ≠ α、すべての実数、解なし、x = α）
4. 「すべての実数で > 0」は a > 0 かつ D < 0
5. 連立は数直線で共通範囲

7. 小テストへ

→ 小テスト（h1-09）

関連する単元

• 前提：h1-04 一次不等式、h1-08 二次方程式・判別式
• 次に進む：h1-10 三角比
• ここで使う考え方が出てくる：h2-02 解と係数の関係、h2-06 領域、h2-10 対数不等式、h2-12 増減

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(3) 二次関数 ア(イ) 二次方程式・二次不等式」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-09/ ／ 更新 2026-09-12

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