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小テスト ／ h1-09

二次不等式・グラフと x 軸の位置関係

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二次不等式・グラフと x 軸の位置関係 ── 問題

基礎

  1. 次の二次不等式を解きなさい。 x² − 16 ≧ 0　（ア x ≦ −4 または x ≧ 4　イ −4 ≦ x ≦ 4　ウ x ≧ 4）
  2. 次の二次不等式を解きなさい。 −x² + 3x + 10 < 0　（ア −2 < x < 5　イ x < −2　ウ x < −5 または x > 2　エ x < −2 または x > 5）
  3. 次の二次不等式を解きなさい。 x² + 8x + 16 ≧ 0　（ア x ≧ −4　イ すべての実数　ウ x = −4　エ x ≠ −4 のすべての実数）
  4. 次の二次不等式を解きなさい。 x² − 2x + 3 ≦ 0　（ア 解なし　イ すべての実数　ウ x = 1　エ x ≦ 1）
  5. 二次不等式 x² − 5x + 6 > 0 の解はどれですか。　（ア 2 < x < 3　イ x < 2 または x > 3　ウ x > 3　エ x < 2）

標準

  1. 次の二次不等式を解きなさい。 x² − 4x − 2 < 0　（ア 2 − √6 < x < 2 + √6　イ −2 − √6 < x < −2 + √6　ウ 2 − √2 < x < 2 + √2　エ x < 2 − √6 または x > 2 + √6）
  2. 次の連立不等式を解きなさい。 x² − 5x < 0　かつ　x − 1 ≧ 0　（ア 1 ≦ x < 5　イ 0 < x ≦ 1　ウ 0 < x < 5　エ x ≧ 1）
  3. すべての実数 x について x² + 2x + k > 0 が成り立つような定数 k の範囲を求めなさい。　（ア k > 2　イ k > 1　ウ k ≧ 1　エ k < 1）
  4. すべての実数 x について x² + 2kx + k + 2 > 0 が成り立つ k の範囲はどれですか。　（ア −1 < k < 2　イ k < −1 または k > 2　ウ −2 < k < 1　エ k > 2）
  5. 連立不等式 x² − 4 ≦ 0 かつ x² − 3x > 0 の解はどれですか。　（ア −2 ≦ x < 0　イ 0 < x ≦ 2　ウ −2 ≦ x ≦ 2　エ x > 3）

発展

  1. 二次方程式 x² − 2ax + a + 2 = 0 の 2 つの解がともに正であるような a の範囲はどれですか。　（ア a ≧ 2　イ a ≦ −1 または a ≧ 2　ウ a > 0　エ −2 < a ≦ −1）
  2. 不等式 ax² + 4x + a < 0 がすべての実数 x で成り立つ a の範囲はどれですか。　（ア a < −2　イ a < 2　ウ −2 < a < 2　エ a > 2）
  3. 二次不等式 x² + ax + b < 0 の解が −1 < x < 3 であるとき、a、b の値はどれですか。　（ア a = −2、b = −3　イ a = 2、b = −3　ウ a = −2、b = 3　エ a = 2、b = 3）

二次不等式・グラフと x 軸の位置関係 ── 解答

基礎

  1. ア　x ≦ −4 または x ≧ 4　(x − 4)(x + 4) = 0 より x 軸との交点は x = −4、4。下に凸なので「≧ 0」は外側。x ≦ −4 または x ≧ 4
  2. エ　x < −2 または x > 5　両辺に −1 をかけて (x − 5)(x + 2) > 0（向きが変わる）。交点 x = −2、5。外側。x < −2 または x > 5
  3. イ　すべての実数　左辺は (x + 4)²。グラフは x = −4 で x 軸に接し、他では正。すべての実数
  4. ア　解なし　平方完成すると (x − 1)² + 2。常に正（D = −8 < 0）なので、> 0 はすべての実数、< 0 は解なし。解なし
  5. イ　x < 2 または x > 3　交点 x = 2、3。下に凸で > 0 は外側。

標準

  1. ア　2 − √6 < x < 2 + √6　x² − 4x − 2 = 0 を b′ の公式で解くと x = 2 ± √6。< 0 は内側。2 − √6 < x < 2 + √6
  2. ア　1 ≦ x < 5　1 つ目：0 < x < 5。2 つ目：x ≧ 1。数直線で共通範囲をとって 1 ≦ x < 5。
  3. イ　k > 1　下に凸なので、常に正 ⇔ D < 0。D/4 = 1 − k < 0。k > 1
  4. ア　−1 < k < 2　D/4 = k² − k − 2 < 0 → (k − 2)(k + 1) < 0 → −1 < k < 2。
  5. ア　−2 ≦ x < 0　① −2 ≦ x ≦ 2、② x < 0 または x > 3。共通範囲は −2 ≦ x < 0。

発展

  1. ア　a ≧ 2　D/4 = a² − a − 2 ≧ 0（a ≦ −1 または a ≧ 2）、軸 a > 0、f(0) = a + 2 > 0。共通は a ≧ 2。
  2. ア　a < −2　上に凸で D < 0：a < 0 かつ D/4 = 4 − a² < 0（a < −2 または a > 2）。共通は a < −2。（a = 0 なら 4x < 0 は常に成り立たない）
  3. ア　a = −2、b = −3　解が −1 < x < 3 → (x + 1)(x − 3) < 0 → x² − 2x − 3 < 0。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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