数学Ⅰ 数学 ／ 数と式 ／ h1-04
一次不等式・絶対値を含む方程式と不等式
この単元でできるようになること
- 不等式の性質（負の数をかける・割ると向きが変わる）を使って一次不等式が解ける
- 連立不等式を数直線で解ける
- 「〜以上」「〜未満」「少なくとも」を不等式に直して文章題が解ける
- |x| = a、|x| < a、|x| > a の形を場合分けなしで解ける
- |x − a| の形を「a からの距離」として読める
- 場合分けで |x − 1| + |x − 3| のような式が処理できる
入試での位置づけ
一次不等式は、二次不等式（h1-09）や、数学Ⅱの領域・数学Ⅲの極限など、「範囲を求める」すべての問題の基本です。共通テストでは、文章題を不等式に立てて整数解の個数を求める問題が定番。絶対値を含む不等式は、私立大の小問で頻出です。
1. 不等式の性質
まずここだけ
| 性質 | 例 |
|---|---|
| 両辺に同じ数を足す・引く → 向きはそのまま | x + 3 > 5 → x > 2 |
| 両辺に正の数をかける・割る → 向きはそのまま | 2x > 6 → x > 3 |
| 両辺に負の数をかける・割る → 向きが逆になる | −2x > 6 → x < −3 |
負の数で割ったら向きを変える。これが一次不等式で唯一の注意点です。
解き方
方程式と同じく、x の項を左、数を右に移項して整理。
3x − 7 > 5x + 1 3x − 5x > 1 + 7 −2x > 8 x < −4（−2 で割ったので向きが逆）
分数・小数を含むとき
分母の最小公倍数をかけて整数にする（正の数をかけるので向きは変わらない）。
(x − 1)/2 ≦ (2x + 1)/3 → 両辺 × 6：3(x − 1) ≦ 2(2x + 1) → 3x − 3 ≦ 4x + 2 → −x ≦ 5 → x ≧ −5
2. 連立不等式
まずここだけ
2 つの不等式をそれぞれ解いて、共通範囲をとる。数直線を必ず書く。
2x − 1 > 3 かつ 3x + 2 ≦ 14 ① x > 2 ② x ≦ 4 共通範囲：2 < x ≦ 4
A < B < C の形
A < B かつ B < C の連立不等式として解く。
−1 < 2x + 3 < 7 → −1 < 2x + 3 かつ 2x + 3 < 7 → x > −2 かつ x < 2 → −2 < x < 2
（真ん中が x の一次式だけなら、3 辺同時に「−3」「÷2」をしてもよい）
よくある間違い
- 共通範囲でなく、どちらかの範囲だけを答える
- 「≦」と「<」の端点を取りちがえる（数直線で ● と ○ を書き分ける）
- 解がない場合（x > 5 かつ x < 3）を「解なし」と書かずに無理につなぐ
3. 文章題
ここまでできれば十分
| 日本語 | 不等式 |
|---|---|
| a 以上 | x ≧ a |
| a 以下 | x ≦ a |
| a より大きい・a を超える | x > a |
| a 未満・a より小さい | x < a |
| 少なくとも a | x ≧ a |
| a 以内 | x ≦ a |
例：1 個 120 円のりんごと 1 個 80 円のみかんを合わせて 15 個買い、代金を 1,500 円以下にしたい。りんごは最大何個買えるか。 りんご x 個、みかん (15 − x) 個：120x + 80(15 − x) ≦ 1500 120x + 1200 − 80x ≦ 1500 → 40x ≦ 300 → x ≦ 7.5 x は整数なので最大 7 個
答えは整数か・0 以上か（「個数」なら 0 ≦ x ≦ 15 の整数）を最後に確認する。
4. 絶対値を含む方程式・不等式
まずここだけ
|x| は「0 からの距離」。a > 0 のとき、
| 形 | 意味 | 解 |
|---|---|---|
| x | = a | |
| x | < a | |
| x | > a |
|x| = 3 → x = ±3 |x| < 3 → −3 < x < 3 |x| ≧ 3 → x ≦ −3 または x ≧ 3
「< は挟む、> は外側」。
|x − a| は「a からの距離」
|x − 2| = 3 → x − 2 = ±3 → x = 5、−1（2 から距離 3 の点） |x − 2| < 3 → −3 < x − 2 < 3 → −1 < x < 5 |x − 2| ≧ 3 → x − 2 ≦ −3 または x − 2 ≧ 3 → x ≦ −1 または x ≧ 5 |2x + 1| < 5 → −5 < 2x + 1 < 5 → −6 < 2x < 4 → −3 < x < 2
よくある間違い
- |x| < 3 を x < ±3 と書く（× ）→ −3 < x < 3
- |x| > 3 を −3 > x > 3 と書く（× ・意味をなさない）→ x < −3 または x > 3
- |x − 2| = 3 の解を x = 3 だけにする（−1 を落とす）
5. 場合分けで解く
ここまでできれば十分
右辺に x があるとき・絶対値が 2 つあるときは、絶対値の中の符号で場合分け。
|x − 1| = 2x (i) x ≧ 1 のとき：x − 1 = 2x → x = −1。x ≧ 1 を満たさないので不適 (ii) x < 1 のとき：−(x − 1) = 2x → 1 − x = 2x → x = 1/3。x < 1 を満たす ✓ 答え：x = 1/3
場合分けの条件を満たすかどうかを必ず確認する。ここで不適な解を残すのが典型的な減点。
|x − 1| + |x − 3| = 4（絶対値が 2 つ：境目 x = 1、3 で 3 つに分ける） (i) x < 1：−(x − 1) − (x − 3) = 4 → −2x + 4 = 4 → x = 0 ✓ (ii) 1 ≦ x < 3：(x − 1) − (x − 3) = 4 → 2 = 4 → 解なし (iii) x ≧ 3：(x − 1) + (x − 3) = 4 → 2x − 4 = 4 → x = 4 ✓ 答え：x = 0、4
もう一歩：グラフで考える
y = |x − 1| + |x − 3| のグラフは、1 ≦ x ≦ 3 で y = 2（平ら）、その外側で傾き ±2 の V 字。y = 4 との交点が x = 0、4。数学Ⅱ以降で「絶対値のグラフ」として使います。
6. 自己チェック
- 負の数で割ったとき向きを変えたか
- 連立不等式は数直線を書いて共通範囲をとったか
- 文章題の答えは整数・0 以上など条件を満たすか
- |x| < a は挟む、|x| > a は外側（「または」）
- 場合分けの解が、その場合の条件を満たすか確かめたか
7. 小テストへ
→ 小テスト（h1-04）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(1) 数と式 ア(ウ) 一次不等式」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-04/ ／ 更新 2026-09-12