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小テスト ／ h1-11

正弦定理・余弦定理

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正弦定理・余弦定理 ── 問題

基礎

  1. 三角形 ABC で、b = 3、c = 6、A = 120° のとき、a の値を求めなさい。　（ア 3√5　イ 3√7　ウ 3√6　エ 3√3）
  2. 三角形 ABC で、a = 7、b = 7、c = 3 のとき、cos A の値を求めなさい。　（ア 3/7　イ −3/14　ウ 89/98　エ 3/14）
  3. 三角形 ABC で、a = 4、A = 45° のとき、外接円の半径 R を求めなさい。　（ア 4√2　イ 2√2　ウ √2　エ 1）
  4. 三角形 ABC で、a = 6、A = 90°、B = 60° のとき、b の値を求めなさい。　（ア 3√3　イ 4√3　ウ 3　エ 6√3）
  5. 三角形の 2 辺とその間の角がわかっているとき、残りの辺を求めるのに使う定理はどれですか。　（ア 正弦定理　イ 余弦定理　ウ 三平方の定理　エ 中点連結定理）

標準

  1. 三角形 ABC で、a = 8、b = 2、c = 7 のとき、A は鋭角・直角・鈍角のどれですか。　（ア 鋭角　イ 直角　ウ 鈍角）
  2. 三角形 ABC で、a = 5、b = 5、c = 5 のとき、A の大きさを求めなさい。　（ア 60°　イ 120°　ウ 150°　エ 90°）
  3. 三角形 ABC で a = 2、b = √6、A = 45° のとき、B の値はどれですか。　（ア B = 60°　イ B = 120°　ウ B = 60° または 120°　エ B = 30°）
  4. AB = 3、AC = 5、∠A = 120° の三角形 ABC で、BC の長さと外接円の半径 R の組み合わせはどれですか。　（ア BC = 7、R = 7√3/3　イ BC = √19、R = √19/√3　ウ BC = 7、R = 7/√3 × 2　エ BC = 4、R = 4√3/3）
  5. 三角形 ABC で、b = 2、c = 3、A = 60° のとき、a の値はどれですか。　（ア √7　イ √19　ウ √13　エ 5）

発展

  1. 三角形 ABC で、a = 2、b = 3、C = 60° のとき、外接円の半径 R はどれですか。　（ア √21/3　イ √7　ウ √7/2　エ 7/3）
  2. 三角形 ABC で、sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 のとき、最大の角の大きさはどれですか。　（ア 120°　イ 90°　ウ 150°　エ 60°）
  3. 三角形 ABC で、a = √3、b = 1、B = 30° のとき、A の値はどれですか。　（ア A = 60° または 120°　イ A = 60°　ウ A = 120°　エ A = 30°）

正弦定理・余弦定理 ── 解答

基礎

  1. イ　3√7　2 辺と間の角 → 余弦定理。a² = 3² + 6² − 2・3・6・cos 120° = 45 − 36・(−1/2)。a = 3√7。
  2. エ　3/14　3 辺から角 → 余弦定理を cos の形に。cos A = (b² + c² − a²) / 2bc = 9/42 = 3/14。
  3. イ　2√2　正弦定理 a / sin A = 2R。2R = 4 / sin 45° = 4 / (√2/2)。R = 2√2。
  4. ア　3√3　1 辺と 2 角 → 正弦定理。a / sin A = b / sin B より b = a sin B / sin A。3√3
  5. イ　余弦定理　「間の角」なら余弦定理。「向かいの角」なら正弦定理。

標準

  1. ウ　鈍角　cos A の符号 = (b² + c² − a²) の符号。a² = 64、b² + c² = 53。鈍角。
  2. ア　60°　cos A = (b² + c² − a²) / 2bc = 25/50。60°
  3. ウ　B = 60° または 120°　正弦定理より sin B = √6 sin 45° / 2 = √3/2。B = 60°、120° のどちらも A + B < 180° を満たす。
  4. ア　BC = 7、R = 7√3/3　余弦定理：BC² = 9 + 25 + 15 = 49 → 7。正弦定理：2R = 7 / sin 120° = 14/√3 → R = 7√3/3。
  5. ア　√7　a² = 4 + 9 − 2・2・3・(1/2) = 7。

発展

  1. ア　√21/3　余弦定理：c² = 4 + 9 − 6 = 7、c = √7。正弦定理：2R = √7 / sin 60° = 2√7/√3 → R = √7/√3 = √21/3。
  2. ア　120°　正弦定理より a : b : c = 3 : 5 : 7。最大辺 c の向かいの角：cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2 → C = 120°。
  3. ア　A = 60° または 120°　sin A = √3 sin 30° / 1 = √3/2 → A = 60°、120°。どちらも A + B < 180° を満たす。

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