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小テスト ／ h2-07

一般角・弧度法・三角関数のグラフ

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一般角・弧度法・三角関数のグラフ ── 問題

基礎

  1. 210° を弧度法で表しなさい。　（ア 7π/3　イ 7π/12　ウ 21π/10　エ 7π/6）
  2. tan 7π/6 の値を求めなさい。　（ア −√3/3　イ √3/3　ウ 1/2　エ √3/2）
  3. 関数 y = sin 2θ の周期を求めなさい。　（ア 2π　イ π/2　ウ 4π　エ π）
  4. 0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 cos θ = √3/2 を解きなさい。　（ア θ = π/4、5π/4　イ θ = π/3、5π/3　ウ θ = π/6、5π/6　エ θ = π/6、11π/6）
  5. 半径 6、中心角 π/3 の扇形の弧の長さと面積の組み合わせはどれですか。　（ア 弧 2π、面積 6π　イ 弧 π、面積 3π　ウ 弧 2π、面積 12π　エ 弧 6π、面積 18π）

標準

  1. 次の式を θ の三角関数で表しなさい。 sin(−θ)　（ア sin θ　イ −sin θ　ウ −cos θ　エ cos θ）
  2. 0 ≦ θ < 2π のとき、不等式 sin θ < 0 を解きなさい。　（ア π/6 ≦ θ ≦ 5π/6　イ π < θ < 2π　ウ π/3 < θ < 5π/3　エ 0 < θ < π）
  3. 関数 y = 3 sin(3θ − π/2) の振幅・周期と、y = 3 sin 3θ のグラフをどれだけ平行移動したものかを答えなさい。　（ア 振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に π/6 平行移動　イ 振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に π/2 平行移動　ウ 振幅 3、周期 6π、θ 軸方向に π/6 平行移動　エ 振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に −π/6 平行移動）
  4. 0 ≦ θ < 2π のとき、sin 2θ = 1/2 の解の個数はどれですか。　（ア 4 個　イ 2 個　ウ 1 個　エ 8 個）
  5. 0 ≦ θ < 2π のとき、2cos²θ − cos θ − 1 = 0 の解はどれですか。　（ア θ = 0、2π/3、4π/3　イ θ = π/3、5π/3　ウ θ = 0、π　エ θ = 2π/3、4π/3）

発展

  1. 0 ≦ θ < 2π のとき、2sin²θ + 3cos θ − 3 = 0 の解はどれですか。　（ア θ = 0、π/3、5π/3　イ θ = π/3、5π/3　ウ θ = 0　エ θ = 0、π）
  2. 関数 y = sin θ + cos θ の値域はどれですか（ヒント：(sin θ + cos θ)² を考える）。　（ア −√2 ≦ y ≦ √2　イ −1 ≦ y ≦ 1　ウ −2 ≦ y ≦ 2　エ 0 ≦ y ≦ 2）
  3. y = 2 sin(2θ − π/3) のグラフとして正しい説明はどれですか。　（ア 振幅 2、周期 π、y = 2 sin 2θ を θ 軸方向に π/6 平行移動　イ 振幅 2、周期 2π、θ 軸方向に π/3 平行移動　ウ 振幅 2、周期 π、θ 軸方向に −π/3 平行移動　エ 振幅 1、周期 π、θ 軸方向に π/6 平行移動）

一般角・弧度法・三角関数のグラフ ── 解答

基礎

  1. エ　7π/6　180° = π なので 210° = 210π/180 = 7π/6。
  2. イ　√3/3　7π/6 は第 3 象限。基準の角は π/6。象限で符号を決めて √3/3。
  3. エ　π　sin の周期は 2π。θ の係数が 2 なので周期は 2π ÷ 2 = π。
  4. エ　θ = π/6、11π/6　単位円で、sin は y 座標、cos は x 座標、tan は傾きが √3/2 になる点を探す。θ = π/6、11π/6
  5. ア　弧 2π、面積 6π　l = rθ = 6・π/3 = 2π、S = (1/2)r²θ = (1/2)・36・π/3 = 6π。

標準

  1. イ　−sin θ　π が関わると符号だけ、π/2 が関わると sin と cos が入れかわる。θ を第 1 象限として符号を確かめる。−sin θ
  2. イ　π < θ < 2π　単位円で、境界の角を求めてから、条件を満たす側の範囲を読む。π < θ < 2π
  3. ア　振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に π/6 平行移動　3θ − π/2 = 3(θ − (π/6)) と変形。振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に π/6 だけ平行移動。振幅 3、周期 2π/3、θ 軸方向に π/6 平行移動
  4. ア　4 個　0 ≦ 2θ < 4π の範囲で 2θ = π/6、5π/6、13π/6、17π/6 の 4 つ。
  5. ア　θ = 0、2π/3、4π/3　(2cos θ + 1)(cos θ − 1) = 0 → cos θ = −1/2、1。

発展

  1. ア　θ = 0、π/3、5π/3　sin²θ = 1 − cos²θ で cos だけに：−2cos²θ + 3cos θ − 1 = 0 → (2cos θ − 1)(cos θ − 1) = 0 → cos θ = 1/2、1。
  2. ア　−√2 ≦ y ≦ √2　y² = 1 + 2sin θ cos θ = 1 + sin 2θ ≦ 2。y = √2 sin(θ + π/4) でもよい（h2-08 の合成）。
  3. ア　振幅 2、周期 π、y = 2 sin 2θ を θ 軸方向に π/6 平行移動　2θ − π/3 = 2(θ − π/6)。

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