数学Ⅱ 数学 ／ 三角関数 ／ h2-07

更新 2026-09-12

一般角・弧度法・三角関数のグラフ

この単元でできるようになること

• 一般角（360° を超える角・負の角）と、弧度法（ラジアン）の変換ができる
• 単位円で任意の角の sin・cos・tan の値と符号がわかる
• θ + π、−θ、π − θ、π/2 − θ などの公式で角を第 1 象限に直せる
• y = sin θ、cos θ、tan θ のグラフの周期・値域がわかり、y = a sin(bθ + c) の周期と平行移動が読める
• 三角方程式・不等式（sin θ = 1/2、cos θ < 1/2 など）を 0 ≦ θ < 2π で解ける

入試での位置づけ

三角関数は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』で毎年出る分野です。この単元は土台で、次の加法定理（h2-08）と合わせて 1 つの大問になります。弧度法に慣れることと単位円で方程式・不等式を解くことがすべて。

1. 一般角と弧度法

まずここだけ

一般角：θ を 1 つ決めると、θ + 360° × n（n は整数）はすべて同じ位置。負の角は時計回り。

弧度法：半径 1 の円で、弧の長さ = 角の大きさとする単位（ラジアン）。180° = π ラジアン。

変換：度 × π/180 = ラジアン。ラジアン × 180/π = 度。

225° = 225π/180 = 5π/4、7π/6 = 7 × 30° = 210°

扇形：半径 r、中心角 θ（ラジアン）のとき、弧の長さ l = rθ、面積 S = (1/2)r²θ = (1/2)rl。

2. 三角関数の定義（単位円）

まずここだけ

原点中心・半径 1 の円で、x 軸の正の向きから角 θ だけ回った点を P(x, y) とすると、

sin θ = y、cos θ = x、tan θ = y/x

覚え方：「全・サ・タ・コ」（第 1 象限は全部正、第 2 は sin だけ、第 3 は tan だけ、第 4 は cos だけ正）。

sin(7π/6)：第 3 象限、基準の角 π/6 → −1/2 cos(5π/3)：第 4 象限、基準 π/3 → 1/2 tan(3π/4)：第 2 象限、基準 π/4 → −1

相互関係（h1-10 と同じ）

sin²θ + cos²θ = 1、tan θ = sin θ/cos θ、1 + tan²θ = 1/cos²θ

3. 角の公式

ここまでできれば十分

覚え方：π が関わると sin・cos は入れかわらず符号だけ変わる。π/2 が関わると sin と cos が入れかわる。符号は「もとの θ を第 1 象限として、変換後の象限で判断」。

sin(θ + π/2) = cos θ：θ = π/6 で確認 → sin(2π/3) = √3/2 = cos(π/6) ✓

4. グラフ

ここまでできれば十分

y = a sin(bθ + c) + d

• 振幅 |a|：値域は d − |a| ≦ y ≦ d + |a|
• 周期 2π/|b|（tan なら π/|b|）
• θ 軸方向に −c/b 平行移動（bθ + c = b(θ + c/b)）
• y 軸方向に d 平行移動

y = 2 sin(2θ − π/3) = 2 sin 2(θ − π/6)：振幅 2、周期 π、右に π/6 ずらす y = cos(θ/2)：周期 4π

5. 三角方程式・不等式

ここまでできれば十分

単位円をかいて、条件を満たす点を探す。範囲 0 ≦ θ < 2π。

sin θ = 1/2：y 座標が 1/2 の点 → θ = π/6、5π/6 cos θ = −√2/2：x 座標が −√2/2 → θ = 3π/4、5π/4 tan θ = √3：傾き √3 → θ = π/3、4π/3 2 sin θ − 1 < 0 → sin θ < 1/2 → y 座標が 1/2 未満 → 0 ≦ θ < π/6、5π/6 < θ < 2π cos θ ≧ 1/2 → 0 ≦ θ ≦ π/3、5π/3 ≦ θ < 2π

角が 2θ などのとき

θ の範囲を 2θ の範囲に直してから解き、最後に θ に戻す。

sin 2θ = 1/2（0 ≦ θ < 2π）→ 0 ≦ 2θ < 4π で 2θ = π/6、5π/6、13π/6、17π/6 → θ = π/12、5π/12、13π/12、17π/12

2 次の形

2cos²θ − cos θ − 1 = 0 → (2cos θ + 1)(cos θ − 1) = 0 → cos θ = −1/2、1 → θ = 0、2π/3、4π/3 sin²θ が混ざれば cos²θ = 1 − sin²θ で 1 種類にそろえる。

6. 自己チェック

1. 度 ⇔ ラジアンは 180° = π
2. 象限の符号（全サタコ）
3. π/2 が関わると sin と cos が入れかわる
4. 周期 2π/|b|、振幅 |a|、平行移動 −c/b
5. 方程式・不等式は単位円で。2θ なら範囲を 2 倍

7. 小テストへ

→ 小テスト（h2-07）

関連する単元

• 前提：h1-10 三角比
• 次に進む：h2-08 加法定理・2 倍角・合成
• ここで使う考え方が出てくる：hc-05 複素数平面（極形式）、h2-11 微分（三角関数は数学Ⅲ）

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(4) 三角関数 ア(ア) 角の拡張、(イ) 三角関数」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-07/ ／ 更新 2026-09-12

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