数学Ⅱ 数学 ／ 微分・積分 ／ h2-11
微分係数・導関数・接線
この単元でできるようになること
- 平均変化率と微分係数 f′(a) = lim{f(a + h) − f(a)}/h の意味（接線の傾き）がわかる
- (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ と、定数倍・和・差の微分で多項式の導関数が求められる
- 曲線上の点における接線の方程式が書ける
- 曲線外の点から引いた接線が求められる（接点を t とおく）
- 2 曲線が接する条件が扱える
入試での位置づけ
微分・積分は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の必答の大問で、接線 → 増減・極値（h2-12）→ 面積（h2-13）と続きます。この単元の接線の方程式は毎年のように問われ、「接点を t とおく」型が定番です。導関数の計算は速く正確に。
1. 微分係数
まずここだけ
関数 f(x) について、
平均変化率：x が a から b まで変わるときの変化の割合 {f(b) − f(a)}/(b − a)（2 点を結ぶ直線の傾き）
微分係数 f′(a)：b を a に限りなく近づけたときの平均変化率の極限
f′(a) = lim_{h→0} {f(a + h) − f(a)}/h
意味：x = a における接線の傾き。
f(x) = x² の f′(3)：{(3 + h)² − 9}/h = (6h + h²)/h = 6 + h → h → 0 で 6
極限の計算（発展）
lim_{x→1} (x² − 1)/(x − 1) = lim (x + 1) = 2 のように、約分してから代入。0/0 の形は因数分解して約分する。
2. 導関数
まずここだけ
f′(a) を a の関数と見たものが導関数 f′(x)。求めることを「微分する」という。
| 公式 | 例 |
|---|---|
| (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ | (x³)′ = 3x²、(x²)′ = 2x、(x)′ = 1 |
| (c)′ = 0（定数） | (5)′ = 0 |
| (kf)′ = kf′ | (4x³)′ = 12x² |
| (f ± g)′ = f′ ± g′ | (x³ − 2x² + x − 3)′ = 3x² − 4x + 1 |
f(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 1 → f′(x) = 6x² − 6x + 4、f′(1) = 4 f(x) = (x − 1)(x + 2) → 展開して x² + x − 2 → f′(x) = 2x + 1 f(x) = x⁴ − x → f′(x) = 4x³ − 1
記号：y′、dy/dx、d/dx f(x) はどれも導関数。
積・商の微分（数学Ⅲ）
(fg)′ = f′g + fg′ は数学Ⅲ。数学Ⅱでは展開してから微分する。
3. 接線の方程式
まずここだけ
曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線：
y − f(a) = f′(a)(x − a)
（傾きが f′(a)、点 (a, f(a)) を通る直線）
y = x² − 3x + 1 の x = 2 における接線：f(2) = −1、f′(x) = 2x − 3、f′(2) = 1 → y + 1 = 1(x − 2) → y = x − 3 y = x³ の点 (1, 1) における接線：f′(1) = 3 → y − 1 = 3(x − 1) → y = 3x − 2
傾きが与えられたとき
「y = x² の接線で傾きが 4 のもの」→ f′(a) = 2a = 4 → a = 2、接点 (2, 4) → y = 4x − 4
法線（発展）
接線に垂直な直線。傾きは −1/f′(a)。
4. 曲線外の点から引く接線
ここまでできれば十分
接点を (t, f(t)) とおくのが鉄則。
点 (1, −3) から y = x² に引いた接線 接点 (t, t²) における接線：y − t² = 2t(x − t) → y = 2tx − t² (1, −3) を通る：−3 = 2t − t² → t² − 2t − 3 = 0 → (t − 3)(t + 1) = 0 → t = 3、−1 t = 3：y = 6x − 9、t = −1：y = −2x − 1（2 本）
手順：① 接点 t で接線を書く ② 与えられた点を代入して t を求める ③ t を戻す。
2 曲線が接する条件（発展）
y = f(x) と y = g(x) が x = t で接する ⇔ f(t) = g(t) かつ f′(t) = g′(t)（同じ点を通り、傾きが等しい）
y = x² + a と y = 2x が接する a：x² + a = 2x かつ 2x = 2 → x = 1 → 1 + a = 2 → a = 1（判別式でも可）
5. 微分係数の応用
もう一歩
f′(x) を使った条件：「f(x) = x³ + ax² + bx が x = 1 で接線の傾き 0、点 (1, −2) を通る」→ f′(1) = 3 + 2a + b = 0、f(1) = 1 + a + b = −2 → 連立で a = 0、b = −3。
速度（発展）：位置 x(t) の時間微分が速度。数学Ⅲでくわしく。
6. よくある間違い
- (xⁿ)′ で指数を下げ忘れる（(x³)′ = 3x³ ✗）
- 定数の微分を 0 にしない
- 接線の方程式で f(a) と f′(a) を取りちがえる（y 座標と傾き）
- 曲線外の点から引く接線で、その点を接点だと思って f′ を計算する → 接点を t とおく
- 積の形をそのまま微分する（(x − 1)(x + 2) の微分を (1)(1) とする ✗）→ 展開してから
7. 自己チェック
- (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹、定数は 0
- 接線は y − f(a) = f′(a)(x − a)。f(a) は y 座標、f′(a) は傾き
- 曲線外の点からの接線は接点 t をおく
- 積の形は展開してから微分
- 2 曲線が接する ⇔ 値と傾きが一致
8. 小テストへ
→ 小テスト（h2-11）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(5) 微分・積分の考え ア(ア) 微分の考え（微分係数と導関数、接線）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-11/ ／ 更新 2026-09-12