数学Ⅰ 数学 ／ 二次関数 ／ h1-06
二次関数のグラフ ── 平方完成・頂点・平行移動・対称移動
この単元でできるようになること
- y = a(x − p)² + q のグラフ（頂点 (p, q)、軸 x = p）がかける
- y = ax² + bx + c を平方完成して頂点を求められる
- グラフの平行移動・x 軸／y 軸／原点に関する対称移動の式が作れる
- 頂点や通る点の条件から二次関数の式を決められる
入試での位置づけ
二次関数は共通テスト数学Ⅰ・A の大問 1 つがまるごと出る分野で、平方完成はその出発点です。最大・最小（h1-07）、二次方程式・不等式（h1-08・09）、さらに数学Ⅱの微分まで、平方完成が速く正確にできるかで解ける問題の量が決まります。「平行移動して y = 2x² に重なる」「x 軸に関して対称」などの式変形も頻出。
1. y = ax² のグラフ（復習）
まずここだけ
- 原点を頂点とする放物線。軸は y 軸（x = 0）
- a > 0 なら下に凸（∪）、a < 0 なら上に凸（∩）
- |a| が大きいほど開き方がせまい
2. y = a(x − p)² + q のグラフ ── 頂点の形
まずここだけ
y = ax² のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動したもの。
| 頂点 | (p, q) |
| 軸 | 直線 x = p |
| 凸 | a の符号で決まる（ax² と同じ） |
y = 2(x − 3)² + 1：頂点 (3, 1)、軸 x = 3、下に凸 y = −(x + 2)² − 4：頂点 (−2, −4)、軸 x = −2、上に凸（(x + 2) = (x − (−2)) なので p = −2）
符号に注意：(x − p) の p はそのまま、(x + 2) なら p = −2。q はそのまま。
グラフのかき方
- 頂点をとる
- 軸を破線でかく
- y 切片（x = 0 のときの y）をとる
- 軸について対称な点をとる
- なめらかにつなぐ
3. 平方完成 ── y = ax² + bx + c を頂点の形に
まずここだけ
手順（a = 1 のとき）：x の係数の半分の 2 乗を足して引く。
y = x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 ← −6 の半分は −3、その 2 乗 9 を足して引く = (x − 3)² − 4 → 頂点 (3, −4)
a ≠ 1 のとき：まず x² と x の項を a でくくる。
y = 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 ← 定数項はくくらない = 2{(x + 2)² − 4} + 3 ← 中で平方完成 = 2(x + 2)² − 8 + 3 ← かっこを外す（−4 × 2） = 2(x + 2)² − 5 → 頂点 (−2, −5)
y = −x² + 4x − 1 = −(x² − 4x) − 1 = −{(x − 2)² − 4} − 1 = −(x − 2)² + 4 − 1 = −(x − 2)² + 3 → 頂点 (2, 3)
公式（確認用）
y = ax² + bx + c の頂点は (−b/2a, −(b² − 4ac)/4a)。軸は x = −b/2a。
計算は平方完成でやり、軸 x = −b/2a で検算するのがおすすめ。
よくある間違い
- くくったあと、中の −4 を外に出すときに a 倍を忘れる（2(x + 2)² − 4 + 3 ✗ → −8）
- a < 0 で符号を間違える → −{ } のかっこを外すとき全部の符号を変える
- 頂点の x 座標の符号（(x − 3)² → 3、(x + 3)² → −3）
4. 平行移動
ここまでできれば十分
グラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動すると、式は x → x − p、y → y − q におきかえる。
y = x² + 2x を x 軸方向に 3、y 軸方向に −1 平行移動 → y − (−1) = (x − 3)² + 2(x − 3) → y + 1 = x² − 4x + 3 → y = x² − 4x + 2
頂点の形なら、頂点を動かすだけでよい。
y = (x − 1)² + 2（頂点 (1, 2)）を x 軸方向に 3、y 軸方向に −1 → 頂点 (4, 1) → y = (x − 4)² + 1
「どう平行移動すると重なるか」
y = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2（頂点 (1, 2)）を、y = x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3（頂点 (−2, −3)）に重ねるには、頂点の差を見て x 軸方向に −3、y 軸方向に −5。
5. 対称移動
ここまでできれば十分
| 移動 | おきかえ | y = ax² + bx + c → |
|---|---|---|
| x 軸に関して対称 | y → −y | y = −ax² − bx − c（全部の符号が変わる） |
| y 軸に関して対称 | x → −x | y = ax² − bx + c（x の 1 次の項だけ変わる） |
| 原点に関して対称 | x → −x、y → −y | y = −ax² + bx − c |
頂点の形なら：頂点 (p, q) が x 軸対称で (p, −q)、y 軸対称で (−p, q)、原点対称で (−p, −q)。a の符号は x 軸対称・原点対称で変わる。
y = 2(x − 1)² + 3 を x 軸に関して対称移動 → y = −2(x − 1)² − 3
6. 二次関数の決定
ここまでできれば十分
与えられた条件によって、おく式を選ぶ。
| 条件 | おく式 |
|---|---|
| 頂点 (p, q) がわかる | y = a(x − p)² + q |
| 軸 x = p がわかる | y = a(x − p)² + q |
| 通る 3 点 | y = ax² + bx + c（連立方程式） |
| x 軸との交点 (α, 0)、(β, 0) | y = a(x − α)(x − β) |
頂点が (2, −1) で点 (0, 3) を通る：y = a(x − 2)² − 1 に (0, 3) を代入 → 3 = 4a − 1 → a = 1 → y = (x − 2)² − 1 3 点 (0, 1)、(1, 0)、(2, 3) を通る：c = 1、a + b + 1 = 0、4a + 2b + 1 = 3 → a = 2、b = −3 → y = 2x² − 3x + 1
7. 自己チェック
- 頂点の x 座標の符号を (x − p) から正しく読んだか
- a でくくったあと、中の定数を外に出すとき a 倍したか
- 軸 x = −b/2a で検算したか
- 平行移動は x → x − p、y → y − q（符号が逆）
- x 軸対称は全部の符号、y 軸対称は x の 1 次の項だけ
8. 小テストへ
→ 小テスト（h1-06）
関連する単元
- 前提：中3 m3-08 関数 y = ax²、h1-01 整式の計算
- 次に進む：h1-07 二次関数の最大・最小
- ここで使う考え方が出てくる：h1-08 二次方程式、h1-09 二次不等式、h2-04 図形と方程式、h2-11 微分
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(3) 二次関数 ア(ア) 二次関数とそのグラフ」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-06/ ／ 更新 2026-09-12