中3 数学 ／ 関数 ／ m3-08
関数 y = ax² ── 式・グラフ・変域
この単元でできるようになること
- y = ax² の意味と、比例・一次関数との違いがわかる
- 1 組の x、y から a を求め、式を作れる
- グラフ（放物線）の形と特徴（原点が頂点・y 軸について対称・a の符号で上下・a の絶対値で開き方）がわかる
- x の変域から y の変域を求められる（0 をまたぐ場合に注意）
入試での位置づけ
y = ax² は、関数の大問の中3版で、**「a を求める」→「変域」→「変化の割合」→「直線との交点・面積」**の順に出題されやすい構成です。この単元はその最初の 2 段階です。とくに 変域で x が 0 をまたぐとき、y の最小値（または最大値）が 0 になることを見落とす失点が非常に多く、入試の小問で繰り返し問われます。
1. y = ax² とは
まずここだけ
y が x の関数で、y = ax²（a は 0 でない定数）の形で表されるとき、y は x の 2 乗に比例するといいます。
- 1 辺 x cm の正方形の面積 y cm² → y = x²
- 半径 x cm の円の面積 → y = πx²
- 物を落としてから x 秒後の落下距離 y m → y ≒ 4.9x²
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| y = 2x² | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 |
| y = −x² | −9 | −4 | −1 | 0 | −1 | −4 | −9 |
性質
- x が 2 倍、3 倍になると、y は 4 倍、9 倍（2 乗倍）
- x と −x で y は同じ（x = 2 でも −2 でも y = 4）
- x = 0 のとき y = 0
a を求める
「y は x の 2 乗に比例し、x = 3 のとき y = 18」→ y = ax² に代入：18 = 9a → a = 2 → y = 2x² 「x = −2 のとき y = −12」→ −12 = 4a → a = −3 → y = −3x²
手順は比例（m1-10）と同じ：y = ax² とおく → 1 組の値を代入 → a を求める。x² は正になる（x = −2 でも 4）ことに注意します。
よくある間違い
- x = −2 を代入して x² = −4 とする → (−2)² = 4
- 「x が 2 倍で y も 2 倍」と思う → 4 倍
- y = ax² と y = ax（比例）を混同する → 表で「y ÷ x」が一定なら比例、「y ÷ x²」が一定なら y = ax²
2. グラフ ── 放物線
まずここだけ
y = ax² のグラフは、原点を通る、なめらかな曲線で といいます。
y = x² y = −x²
y | y |
\ | / ─────O─────x
\ | / / | \
\ | / / | \
─────O─────x / | \- 原点 O が （a ＞ 0 なら最も低い点、a ＜ 0 なら最も高い点）
- y 軸について線対称（右半分と左半分が鏡）
- a ＞ 0：上に開く（U 字）、a ＜ 0：下に開く（逆 U 字）
- a の絶対値が大きいほど、開き方が小さい（y 軸に近づく・細い）
- y = ax² と y = −ax² は x 軸について対称
グラフをかく
点をとって、なめらかに結びます。y = (1/2)x² なら (0, 0)、(±1, 1/2)、(±2, 2)、(±4, 8)。折れ線にしない・頂点をとがらせない。
グラフから式を読む
放物線が通る格子点を 1 つ読んで、y = ax² に代入。点 (2, 12) を通る → 12 = 4a → a = 3 → y = 3x²
よくある間違い
- 放物線を V 字（折れ線）にかく → なめらかな曲線、頂点は丸い
- 「a が大きいほど開きが大きい」と思う → 逆。a = 2 は a = 1 より細い（同じ x で y が 2 倍）
- 頂点が原点でない放物線をかく → 中学の y = ax² は必ず頂点が原点
ここまでできれば十分
a を求めて式が作れ、a の符号と絶対値でグラフの形が言えれば、この単元の基本は合格です。
3. 変域
まずここだけ
y = ax² の変域は、x の変域が 0 をふくむかどうかで扱いが変わります。
① x の変域が 0 をふくまない（1 ≦ x ≦ 3 など） y = 2x² で 1 ≦ x ≦ 3：x = 1 で y = 2、x = 3 で y = 18 → 2 ≦ y ≦ 18（両端の値がそのまま端）
② x の変域が 0 をふくむ（−2 ≦ x ≦ 3 など） y = 2x² で −2 ≦ x ≦ 3：
- 両端は x = −2 で y = 8、x = 3 で y = 18
- しかし x = 0 で y = 0 が変域の中にあり、これが最小
- 0 ≦ y ≦ 18（最小は 0、最大は絶対値が大きい端 x = 3 の 18）
y
18 ─┼─────────● (3, 18)
│ /
8 ─┼──● / −2 ≦ x ≦ 3 の範囲で
│ \ / y は 0 から 18 まで
0 ─┼────O────x
−2 0 3a ＜ 0 のとき：y = −2x² で −2 ≦ x ≦ 3 → 最大は x = 0 の 0、最小は x = 3 の −18 → −18 ≦ y ≦ 0
手順
- x の変域に 0 が入っているか確認
- 入っていれば、0 が y の端（a ＞ 0 なら最小、a ＜ 0 なら最大）
- もう片方の端は、x の絶対値が大きいほうの端の y
- 小さい順に並べる
よくある間違い（入試最頻出）
- −2 ≦ x ≦ 3 で y = 2x² の変域を「8 ≦ y ≦ 18」とする → x = 0 で y = 0 になるので 0 ≦ y ≦ 18
- 「x の小さい端が y の小さい端」と機械的に対応させる → 放物線は一次関数と違い、端どうしが対応しない
- a ＜ 0 で 0 を最小にする → a ＜ 0 なら 0 は最大
変域から a を求める
「y = ax² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 2 のとき y の変域が 0 ≦ y ≦ 8」 → 0 が最小なので a ＞ 0。最大 8 は絶対値が大きい端 x = 2 で：8 = 4a → a = 2 「y の変域が −12 ≦ y ≦ 0」なら a ＜ 0 で、x = 2 で −12 → a = −3
もう一歩（発展）：y の変域が与えられて x の変域を求める
「y = x² で y の変域が 4 ≦ y ≦ 16 のとき、x の変域は？」→ x² = 4 で x = ±2、x² = 16 で x = ±4 → −4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4（2 つの区間）。放物線は左右対称なので、y の範囲に対応する x は正負の両側にあります。
4. 自己チェック
- a は y ÷ x² で求めたか。x が負でも x² は正か
- グラフは原点が頂点・y 軸対称・なめらか。a ＞ 0 で上に開く・|a| 大で細い
- 変域：x が 0 をふくむとき、0 を y の端にしたか
- もう片方の端は x の絶対値が大きい端か
- a ＜ 0 のとき、0 は最大か
5. 小テストへ
→ 小テスト（m3-08）
関連する単元
- 前提：m1-10 比例、m2-06 一次関数
- 次に進む：m3-09 y=ax² の変化の割合・利用
- ここで使う考え方が出てくる：m3-10 放物線と直線
参考資料
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第3学年 C 関数 (1) 関数 y=ax² ── 「関数 y=ax² の意味」「表、式、グラフの特徴」「変域」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-08/ ／ 更新 2026-09-12