小テスト ／ m3-08

関数 y=ax²（式・グラフ・変域）

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関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 問題

基礎

  1. y は x の 2 乗に比例し、x = 1 のとき y = 5 です。比例定数 a を求めなさい。
  2. y = −2x² について、x = −4 のときの y の値を求めなさい。
  3. y = 1x² で、x の値が 3 から 12 に変わると、y の値は何倍になりますか。
  4. y = 2x² のグラフについて正しいものはどれですか。　（ア 原点を通る直線　イ 原点を頂点とし、上に開いた放物線　ウ 原点を頂点とし、下に開いた放物線　エ x 軸について対称な曲線）
  5. y = x²、y = 3x²、y = (1/2)x² のグラフのうち、開き方が最も小さい（細い）ものはどれですか。　（ア y = x²　イ y = 3x²　ウ y = (1/2)x²　エ すべて同じ）
  6. y = −3x² のグラフと x 軸について対称なグラフはどれですか。　（ア y = 3x²　イ y = −3x²　ウ y = (1/3)x²　エ y = 3x）

標準

  1. y = 2x² で、x の変域が 1 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 0 ≦ y ≦ 18　イ 2 ≦ y ≦ 18　ウ 1 ≦ y ≦ 3　エ 2 ≦ y ≦ 6）
  2. y = 2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 8 ≦ y ≦ 18　イ 0 ≦ y ≦ 18　ウ 0 ≦ y ≦ 8　エ −8 ≦ y ≦ 18）
  3. y = −2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア −18 ≦ y ≦ −8　イ −18 ≦ y ≦ 0　ウ −8 ≦ y ≦ 0　エ 0 ≦ y ≦ 18）
  4. y = 1x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 4 のとき、y の最大値を求めなさい。
  5. y = −4x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 4 のとき、y の最小値を求めなさい。

発展

  1. y = ax² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 48 です。a の値を求めなさい。
  2. y = ax² で、x の変域が −3 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が −80 ≦ y ≦ 0 です。a の値を求めなさい。
  3. y = x² で y の変域が 4 ≦ y ≦ 16 のとき、x の変域として正しいものはどれですか。　（ア 2 ≦ x ≦ 4　イ −4 ≦ x ≦ 4　ウ −4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4　エ −2 ≦ x ≦ 2）
  4. 放物線 y = ax² が点 (−2, −12) を通るとき、a の値はどれですか。　（ア 3　イ −3　ウ 6　エ −6）

関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 解答

基礎

  1. 5　y = ax² に代入：5 = a × (1)² = 1a → a = 5。x² は正になる。
  2. −32　y = −2 × (−4)² = −2 × 16 = −32。
  3. 16　x が 4 倍になると y は 4² = 16 倍（2 乗に比例）。
  4. イ　原点を頂点とし、上に開いた放物線　y = ax² のグラフは放物線。a = 2 ＞ 0 なので上に開き、頂点は原点、y 軸について対称。
  5. イ　y = 3x²　a の絶対値が大きいほど、同じ x で y が大きくなり、グラフは y 軸に近づいて細くなる。
  6. ア　y = 3x²　y = ax² と y = −ax² は x 軸について対称。

標準

  1. イ　2 ≦ y ≦ 18　変域に 0 をふくまないので両端がそのまま端。x = 1 で 2、x = 3 で 18。
  2. イ　0 ≦ y ≦ 18　変域に x = 0 がふくまれ、そこで y = 0（最小）。最大は絶対値の大きい端 x = 3 で 18。
  3. イ　−18 ≦ y ≦ 0　a ＜ 0 なので x = 0 の y = 0 が最大。最小は絶対値の大きい端 x = 3 で −18。
  4. 16　a ＞ 0 で変域が 0 をまたぐので最小は 0。最大は絶対値の大きい端 x = 4 で y = 1 × 4² = 16。
  5. −64　a ＜ 0 で変域が 0 をまたぐので最大は 0。最小は絶対値の大きい端 x = 4 で y = −4 × 4² = −64。

発展

  1. 3　最小が 0 なので a ＞ 0。最大 48 は絶対値の大きい端 x = 4 で：48 = a × 16 → a = 3。
  2. −5　最大が 0 なので a ＜ 0。最小 −80 は絶対値の大きい端 x = 4 で：−80 = a × 16 → a = −5。
  3. ウ　−4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4　x² = 4 で x = ±2、x² = 16 で x = ±4。放物線は左右対称なので 2 つの区間。
  4. イ　−3　−12 = a × (−2)² = 4a → a = −3。(−2)² = 4（正）に注意。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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