数学C 数学 ／ 平面上の曲線と複素数平面 ／ hc-04
二次曲線 ── 放物線・楕円・双曲線
この単元でできるようになること
- 放物線 y² = 4px の焦点 (p, 0)・準線 x = −p と、定義（焦点と準線から等距離）がわかる
- 楕円 x²/a² + y²/b² = 1 の焦点 (±√(a² − b²), 0)、長軸・短軸、定義（2 焦点からの距離の和が 2a）がわかる
- 双曲線 x²/a² − y²/b² = 1 の焦点 (±√(a² + b²), 0)、漸近線 y = ±(b/a)x、定義（距離の差が 2a）がわかる
- 平行移動した二次曲線の方程式を平方完成で標準形に直せる
- 二次曲線と直線の共有点、接線の方程式（x₁x/a² + y₁y/b² = 1）が扱える
- 媒介変数表示（x = a cos θ、y = b sin θ）がわかる
入試での位置づけ
「平面上の曲線と複素数平面」は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の選択問題の 1 つで、楕円の焦点・接線と複素数平面（hc-05）のどちらかが出ます。3 つの曲線の標準形と焦点の位置を表で覚えることが第一歩。h2-06 の軌跡の延長として理解します。
1. 放物線
まずここだけ
定義：定点 F（焦点）と定直線 l（準線）から等距離にある点の軌跡。
標準形 y² = 4px：焦点 (p, 0)、準線 x = −p、軸は x 軸、頂点は原点
y² = 8x：4p = 8 → p = 2 → 焦点 (2, 0)、準線 x = −2 x² = 4py の形なら焦点 (0, p)、準線 y = −p（数学Ⅰの y = ax² は x² = (1/a)y で 4p = 1/a）
定義から方程式
焦点 (2, 0)、準線 x = −2 の放物線：√{(x − 2)² + y²} = |x + 2| → 2 乗して y² = 8x。
2. 楕円
まずここだけ
定義：2 定点 F、F′（焦点）からの距離の和が一定（= 2a）の点の軌跡。
標準形 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
| 値 | |
|---|---|
| 長軸の長さ | 2a（x 軸方向） |
| 短軸の長さ | 2b |
| 焦点 | (±√(a² − b²), 0) |
| 頂点 | (±a, 0)、(0, ±b) |
| 距離の和 | 2a |
x²/25 + y²/9 = 1：a = 5、b = 3、焦点 (±4, 0)、長軸 10、短軸 6、距離の和 10 a < b なら焦点は y 軸上 (0, ±√(b² − a²))
覚え方：焦点までの距離 c は c² = a² − b²（大きいほう − 小さいほう）。焦点は長いほうの軸上。
円との関係
円 x² + y² = a² を y 軸方向に b/a 倍に縮めると楕円 x²/a² + y²/b² = 1。楕円の面積は πab。
3. 双曲線
まずここだけ
定義：2 定点からの距離の差が一定（= 2a）の点の軌跡。
標準形 x²/a² − y²/b² = 1
| 値 | |
|---|---|
| 頂点 | (±a, 0) |
| 焦点 | (±√(a² + b²), 0) |
| 漸近線 | y = ±(b/a)x |
| 距離の差 | 2a |
x²/9 − y²/16 = 1：a = 3、b = 4、焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x x²/a² − y²/b² = −1 なら焦点は y 軸上 (0, ±√(a² + b²))、頂点 (0, ±b)、漸近線は同じ
覚え方：c² = a² + b²（足す）。漸近線は「= 0」とおいた式 x²/a² − y²/b² = 0 を因数分解。
直角双曲線：a = b のとき漸近線が直交（xy = k の形は 45° 回転したもの）。
4. 平行移動と標準形への変形
ここまでできれば十分
曲線を x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動 → x → x − p、y → y − q（h1-06 と同じ）。焦点・準線・漸近線も同じだけ動く。
(x − 1)²/4 + (y + 2)²/1 = 1：中心 (1, −2)、焦点は (1 ± √3, −2)
一般形から：x²、y² の項をそれぞれ平方完成。
4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0 → 4(x − 1)² + 9(y + 2)² = 36 → (x − 1)²/9 + (y + 2)²/4 = 1（楕円） x² − 4y² + 2x = 3 → (x + 1)² − 4y² = 4 → (x + 1)²/4 − y² = 1（双曲線）
判別：x²、y² の係数が同符号 → 楕円（等しければ円）、異符号 → 双曲線、一方だけ 2 次 → 放物線。
5. 二次曲線と直線・接線
ここまでできれば十分
接線の公式（曲線上の点 (x₁, y₁) における接線）：
| 曲線 | 接線 |
|---|---|
| 楕円 x²/a² + y²/b² = 1 | x₁x/a² + y₁y/b² = 1 |
| 双曲線 x²/a² − y²/b² = 1 | x₁x/a² − y₁y/b² = 1 |
| 放物線 y² = 4px | y₁y = 2p(x + x₁) |
（円の接線 x₁x + y₁y = r² と同じ型：x² を x₁x、y² を y₁y、x を (x + x₁)/2 に）
楕円 x²/8 + y²/2 = 1 上の点 (2, 1)：2x/8 + y/2 = 1 → x + 2y = 4
曲線外の点からの接線：傾き m とおき、判別式 = 0。または接点をおく。
6. 媒介変数表示
ここまでできれば十分
| 曲線 | 媒介変数表示 |
|---|---|
| 円 x² + y² = r² | x = r cos θ、y = r sin θ |
| 楕円 x²/a² + y²/b² = 1 | x = a cos θ、y = b sin θ |
| 放物線 y² = 4px | x = pt²、y = 2pt |
| 双曲線 x²/a² − y²/b² = 1 | x = a/cos θ、y = b tan θ |
θ を消去して x、y の式に戻す：x = 2cos θ、y = 3sin θ → (x/2)² + (y/3)² = cos²θ + sin²θ = 1。
楕円上の点の最大最小：x + y = 2cos θ + 3sin θ = √13 sin(θ + α)（h2-08 の合成）。
7. よくある間違い
- 楕円の焦点で c² = a² + b² とする（楕円は引く、双曲線は足す）
- 焦点を短いほうの軸上に置く
- 双曲線の漸近線の傾き b/a と a/b を逆にする
- 放物線 y² = 4px の p を 4p と混同する（y² = 8x なら p = 2）
- 平行移動後の焦点を動かし忘れる
8. 自己チェック
- 放物線：焦点 (p, 0)、準線 x = −p、y² = 4px
- 楕円：c² = a² − b²、焦点は長軸上、距離の和 2a
- 双曲線：c² = a² + b²、漸近線 y = ±(b/a)x、距離の差 2a
- 平行移動は平方完成で中心を出す
- 接線は x² → x₁x、y² → y₁y
9. 小テストへ
→ 小テスト（hc-04）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学C「(2) 平面上の曲線と複素数平面 ア(ア) 平面上の曲線（二次曲線、媒介変数表示）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hc-04/ ／ 更新 2026-09-12