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小テスト ／ h2-12

関数の増減・極値・最大最小

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関数の増減・極値・最大最小 ── 問題

基礎

  1. 関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3 の極値を求めなさい。　（ア x = −1 で極小値 8、x = 3 で極大値 −24　イ x = −1 で極大値 8、x = 3 で極小値 −24　ウ 極値はない　エ x = −1 で極大値 −24、x = 3 で極小値 8）
  2. 関数 f(x) = x³ + 3x² − 9x + 2 の増減について正しいものを選びなさい。　（ア x < −3 と x > 1 で増加、−3 < x < 1 で減少　イ 常に増加　ウ x < −3 と x > 1 で減少、−3 < x < 1 で増加　エ x < −3 で増加、x > −3 で減少）
  3. 関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2（−2 ≦ x ≦ 4）の最大値と最小値を求めなさい。　（ア 最大値 −29、最小値 3　イ 最大値 3、最小値 −29　ウ 最大値 4、最小値 −29　エ 最大値 −4、最小値 −22）
  4. 方程式 x³ − 9x² + 15x − 1 = k が異なる 3 つの実数解をもつような定数 k の範囲を求めなさい。　（ア k < −26 または k > 6　イ 1 < k < 5　ウ −26 ≦ k ≦ 6　エ −26 < k < 6）
  5. f(x) = x³ について正しいものはどれですか。　（ア f′(0) = 0 だが極値はない（常に増加）　イ x = 0 で極小値 0　ウ x = 0 で極大値 0　エ x = 0 で極値をもち、他では増加）

標準

  1. 関数 f(x) = x³ + ax² + 48x が極値をもつような定数 a の範囲を求めなさい。　（ア a ≠ 0　イ −12 < a < 12　ウ a < −12 または a > 12（等号を含む）　エ a < −12 または a > 12）
  2. 関数 f(x) = x³ − 6x² + 0x + c が x = 4 で極小値 −4 をとるとき、定数 c の値を求めなさい。
  3. 1 辺の長さが 30 の正方形の厚紙の 4 隅から 1 辺 x の正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作る。容積が最大になる x の値を求めなさい。
  4. x³ − 3x² = k の実数解が 2 個であるような k の値はどれですか。　（ア k = 0、−4　イ k = 0　ウ −4 < k < 0　エ k = −4）
  5. f(x) = −x³ + 3x の極値として正しいものはどれですか。　（ア x = 1 で極大値 2、x = −1 で極小値 −2　イ x = 1 で極小値 2、x = −1 で極大値 −2　ウ x = −1 で極大値 2、x = 1 で極小値 −2　エ 極値はない）

発展

  1. f(x) = x³ + ax² + bx + c が x = 1 で極小値 −1、x = −1 で極大値をとるとき、(a, b) はどれですか。　（ア (0, −3)　イ (0, 3)　ウ (−3, 0)　エ (1, −3)）
  2. x ≧ 0 のとき、x³ − 3x + 2 ≧ 0 が成り立つ理由として正しいものはどれですか。　（ア f(x) = x³ − 3x + 2 は x = 1 で最小値 0 をとるから　イ f(x) は x ≧ 0 で常に増加するから　ウ f(0) = 2 > 0 だから　エ f′(x) = 3x² − 3 ≧ 0 だから）
  3. f(x) = x³ − 3ax² + 3（a > 0）の極小値が −1 になる a の値はどれですか。　（ア a = 1　イ a = 2　ウ a = 1/2　エ a = √2）

関数の増減・極値・最大最小 ── 解答

基礎

  1. イ　x = −1 で極大値 8、x = 3 で極小値 −24　f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3)。f′ = 0 は x = −1、3。増減表で x = −1 の前後で + → −（極大）、x = 3 で − → +（極小）。x = −1 で極大値 8、x = 3 で極小値 −24
  2. ア　x < −3 と x > 1 で増加、−3 < x < 1 で減少　f′(x) = 3x² + 6x − 9。f′ = 0 は x = −3、1。f′ のグラフは下に凸なので、外側で正（増加）、間で負（減少）。x < −3 と x > 1 で増加、−3 < x < 1 で減少
  3. イ　最大値 3、最小値 −29　極大 f(−1) = 3、極小 f(3) = −29、端 f(−2) = −4、f(4) = −22。4 つを比べて 最大値 3、最小値 −29。
  4. エ　−26 < k < 6　y = f(x)（極大 6、極小 −26）と直線 y = k の共有点が 3 個になるのは、k が極小値と極大値の間にあるとき。−26 < k < 6
  5. ア　f′(0) = 0 だが極値はない（常に増加）　f′(x) = 3x² ≧ 0 で符号が変わらない。f′ = 0 でも増減が入れかわらなければ極値ではない。

標準

  1. エ　a < −12 または a > 12　f′(x) = 3x² + 2ax + 48。極値をもつ ⇔ f′ = 0 が異なる 2 実数解 ⇔ D/4 = a² − 144 > 0。a < −12 または a > 12
  2. 28　f′(x) = 3x² − 12x + 0 = 3(x − 4)(x − (0)) で、x = 4 の前後で − → + なので極小。f(4) = −32 + c = −4 より c = 28。
  3. 5　V = x(30 − 2x)²（0 < x < 15）。V′ = 12(x − 5)(x − 15)。増減表より x = 5 で極大かつ最大（最大容積 2000）。x = 5。
  4. ア　k = 0、−4　極大値 0、極小値 −4。y = k がグラフに接するとき（k = 0 または −4）に共有点は 2 個。
  5. ア　x = 1 で極大値 2、x = −1 で極小値 −2　f′ = −3x² + 3 = −3(x − 1)(x + 1)。上に凸の f′ なので −1 < x < 1 で正（増加）。x = −1 で極小 −2、x = 1 で極大 2。

発展

  1. ア　(0, −3)　f′(1) = 3 + 2a + b = 0、f′(−1) = 3 − 2a + b = 0 → a = 0、b = −3。（f′ = 3x² − 3 で確かに x = 1 極小、−1 極大）
  2. ア　f(x) = x³ − 3x + 2 は x = 1 で最小値 0 をとるから　f′ = 3(x − 1)(x + 1)。x ≧ 0 では x = 1 で極小かつ最小、f(1) = 0。
  3. ア　a = 1　f′ = 3x(x − 2a)。x = 2a で極小 f(2a) = 8a³ − 12a³ + 3 = 3 − 4a³ = −1 → a³ = 1 → a = 1。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-12/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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