場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列） ── 問題
基礎
- 7P3 の値を求めなさい。
- 5 人の中から 2 人を選んで一列に並べる並べ方は何通りありますか。
- 0、1、2、…、6 の 7 枚のカードから 2 枚を選んで並べ、2 けたの整数を作る。全部で何個できますか。
- 5 人が円形のテーブルに座る座り方は何通りありますか。
- 4 種類の記号を、同じ記号を何度使ってもよいとして 2 個並べる。並べ方は何通りありますか。
- 72 の正の約数の個数はどれですか。 （ア 12 個 イ 9 個 ウ 6 個 エ 8 個）
標準
- A、B を含む 6 人を一列に並べるとき、A と B が隣り合う並べ方は何通りありますか。
- A、B を含む 7 人を一列に並べるとき、A と B が隣り合わない並べ方は何通りありますか。
- 0、1、2、…、4 の 5 枚のカードから 3 枚を選んで並べて 3 けたの整数を作る。偶数は何個できますか。
- 3 人を 2 つの部屋 A、B に分ける方法は何通りありますか。ただし、どちらの部屋にも少なくとも 1 人は入るものとします。
- 異なる 5 色の玉を糸に通してネックレスを作る方法は何通りですか。 （ア 12 通り イ 24 通り ウ 60 通り エ 120 通り）
- 男子 3 人、女子 2 人を一列に並べるとき、両端が男子になる並べ方は何通りですか。 （ア 36 通り イ 12 通り ウ 72 通り エ 24 通り）
発展
- a、b、c、d、e の 5 文字を並べてできる文字列をアルファベット順に並べたとき、cbade は何番目ですか。 （ア 55 番目 イ 54 番目 ウ 56 番目 エ 49 番目）
- 大人 2 人と子ども 4 人が円卓に座る。大人 2 人が向かい合う座り方は何通りですか。 （ア 24 通り イ 48 通り ウ 120 通り エ 12 通り）
- 360 の正の約数の個数と、その総和の組み合わせはどれですか。 （ア 24 個、1170 イ 24 個、1080 ウ 18 個、1170 エ 20 個、1000）
場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列） ── 解答
基礎
- 210 7 から始めて 3 個かける：7 × 6 × 5 = 210。
- 20 順列 5P2 = 5 × 4 = 20 通り。
- 36 先頭に 0 は置けないので先頭は 6 通り。残りの位は 6 通り。6 × 6 = 36 個。
- 24 円順列は (n − 1)! = 4! = 24 通り（1 人を固定して残りを並べる）。
- 16 各位置に 4 通りずつ → 重複順列 4^2 = 16 通り。
- ア 12 個 72 = 2³ × 3²。(3 + 1)(2 + 1) = 12。
標準
- 240 A と B をまとめて 1 つとみて 5 個の順列 5! = 120、AB の中の並べ方 2 通り。120 × 2 = 240 通り。
- 3600 全体 7! = 5040 から隣り合う 1440 を引いて 3600 通り。（他の 5 人を並べて 120、すき間 6 か所から 2 か所に A、B を置く 30 通り、の積でも同じ）
- 30 一の位が 0：4 × 3 = 12 個。一の位が 0 以外の偶数（2 通り）：百の位は 0 と一の位以外の 3 通り、十の位 3 通り → 18 個。合計 30 個。
- 6 各人が A か B を選ぶ 2^3 = 8 通りから、全員 A・全員 B の 2 通りを引いて 6 通り。
- ア 12 通り じゅず順列 (5 − 1)!/2 = 12。裏返して同じものを 1 つと数える。
- ア 36 通り 両端の男子 ₃P₂ = 6、中の 3 人 3! = 6。6 × 6 = 36。
発展
- ア 55 番目 a〜：24、b〜：24、ca〜：6、cba〜 の 1 番目。24 + 24 + 6 + 1 = 55。
- ア 24 通り 大人 1 人を固定すると、向かいはもう 1 人の大人で決まる。残り 4 席に子ども 4 人：4! = 24。
- ア 24 個、1170 360 = 2³ × 3² × 5。個数 4 × 3 × 2 = 24。総和 (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5) = 15 × 13 × 6 = 1170。
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