組合せ（同じものを含む順列・組分け） ── 問題
基礎
- 6C2 の値を求めなさい。
- 10 人の中から 2 人の委員を選ぶ選び方は何通りありますか。
- 男子 4 人、女子 5 人の中から、男子 1 人と女子 3 人を選ぶ選び方は何通りありますか。
- SUCCESS の文字をすべて並べてできる文字列は何通りありますか。
- 碁盤の目の道で、A 地点から右に 6 区画、上に 3 区画進んだ B 地点まで行く最短経路は何通りありますか。
- ₁₀C₈ の値はどれですか。 （ア 45 イ 90 ウ 80 エ 10）
標準
- 男子 4 人、女子 2 人の中から 4 人を選ぶとき、少なくとも 1 人は女子が含まれる選び方は何通りありますか。
- 4 人を 2 人ずつ 2 組に分ける方法は何通りありますか。ただし組に区別はないものとします。
- 平行な直線が 4 本あり、それらと交わる別の平行な直線が 6 本ある。これらの直線で囲まれる平行四辺形は何個ありますか。
- 円周上に 5 個の点がある。これらを頂点とする三角形は何個作れますか。
- 6 人を 3 人、2 人、1 人の 3 組に分ける方法は何通りですか。 （ア 60 通り イ 10 通り ウ 360 通り エ 20 通り）
- 八角形の対角線の本数はどれですか。 （ア 20 本 イ 28 本 ウ 16 本 エ 24 本）
発展
- 右に 4 区画、上に 3 区画の碁盤の目で、A から B へ行く最短経路のうち、右に 2・上に 1 の地点 P を通るものは何通りですか。 （ア 18 通り イ 35 通り ウ 12 通り エ 10 通り）
- 10 人から 4 人を選ぶとき、特定の 2 人 A、B がともに含まれる選び方は何通りですか。 （ア 28 通り イ 56 通り ウ 45 通り エ 210 通り）
- 「委員長 1 人と副委員長 1 人を選ぶ」と「委員 2 人を選ぶ」を 8 人から行うとき、それぞれの場合の数の組み合わせはどれですか。 （ア 56 通りと 28 通り イ 28 通りと 56 通り ウ 56 通りと 56 通り エ 64 通りと 28 通り）
組合せ（同じものを含む順列・組分け） ── 解答
基礎
- 15 6C2 = (6 × 5) / (2 × 1) = 15。
- 45 順番は関係ないので組合せ 10C2 = 45 通り。
- 40 男子の選び方 4C1 = 4、女子の選び方 5C3 = 10。積の法則で 4 × 10 = 40 通り。
- 420 同じものを含む順列：7! ÷ (3! 2!) = 420 通り。
- 84 右 6 個・上 3 個の並べ方 = 9! / (6! 3!) = 9C6 = 84 通り。
- ア 45 ₁₀C₈ = ₁₀C₂ = 45。
標準
- 14 全体 6C4 = 15 から、男子だけ 4C4 = 1 を引く。14 通り。
- 3 組に名前があるとして 4C2 × 2C2 = 6。同じ人数の組 2 個の区別をなくすので 2! = 2 で割って 3 通り。
- 90 各方向から 2 本ずつ選ぶ。4C2 × 6C2 = 6 × 15 = 90 個。
- 10 どの 3 点も一直線上にないので、3 点を選べば三角形が 1 つ決まる。5C3 = 10 個。
- ア 60 通り ₆C₃ × ₃C₂ × ₁C₁ = 20 × 3 × 1 = 60。人数が違うので組は区別され、割らない。
- ア 20 本 ₈C₂ − 8 = 28 − 8 = 20。
発展
- ア 18 通り A → P（右 2・上 1）：₃C₁ = 3 通り。P → B（右 2・上 2）：₄C₂ = 6 通り。積の法則で 3 × 6 = 18。
- ア 28 通り A、B を先に入れ、残り 8 人から 2 人 → ₈C₂ = 28。
- ア 56 通りと 28 通り 役職が違えば順列 ₈P₂ = 56。役職が同じなら組合せ ₈C₂ = 28。
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