数学A 数学 ／ 場合の数と確率 ／ ha-02
組合せ ── ₙCᵣ・同じものを含む順列・組分け
この単元でできるようになること
- 組合せ ₙCᵣ = ₙPᵣ / r! で「選ぶだけ」の場合の数が求められる
- ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ などの性質を使って計算を楽にできる
- 「特定のものを含む」「少なくとも 1 つ」の条件つき組合せが解ける
- 同じものを含む順列 n! / (p! q! r!) が使える（最短経路の問題を含む）
- 組分け（区別ある組・区別ない組）の違いを処理できる
- 図形の個数（直線・三角形・平行四辺形）を組合せで数えられる
入試での位置づけ
組合せは確率（ha-03・04）の計算の中心で、共通テストでは「選ぶ」と「並べる」の区別、同じものを含む順列（最短経路）、組分けが定番です。二項定理（h2-01）・二項分布（hb-04）でも ₙCᵣ を使います。
1. 組合せ ── 選ぶだけ
まずここだけ
異なる n 個から r 個を選ぶ（順番は関係ない）場合の数：
ₙCᵣ = ₙPᵣ / r! = n(n − 1)…(n − r + 1) / r(r − 1)…1
₅C₂ = (5 × 4)/(2 × 1) = 10 ₇C₃ = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35 ₙC₀ = 1、ₙCₙ = 1、ₙC₁ = n
順列との違い：{A, B} と {B, A} は組合せでは同じ 1 通り。順列 ₙPᵣ を「r 個の並べかえ r!」で割ると組合せになる。
性質
ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ（r 個を選ぶ = 残す n − r 個を選ぶ）
₁₀C₈ = ₁₀C₂ = 45（大きい r は小さいほうに直す）
ₙCᵣ = ₙ₋₁Cᵣ₋₁ + ₙ₋₁Cᵣ（発展：特定の 1 個を含む場合と含まない場合の和）
2. 条件つきの組合せ
まずここだけ
特定のものを含む：その分を先に取り、残りから選ぶ。
8 人から 3 人を選ぶとき、A が含まれる：A 以外の 7 人から 2 人 → ₇C₂ = 21 通り
特定のものを含まない：除いてから選ぶ。
A を含まない：7 人から 3 人 → ₇C₃ = 35 通り（21 + 35 = ₈C₃ = 56 ✓）
少なくとも 1 人：全体 − 「1 人も含まない」。
男 5 人・女 4 人から 3 人を選び、少なくとも 1 人は女子：₉C₃ − ₅C₃ = 84 − 10 = 74 通り
男 2 人と女 1 人：それぞれ選んで積の法則。
₅C₂ × ₄C₁ = 10 × 4 = 40 通り
3. 同じものを含む順列
ここまでできれば十分
n 個のうち、同じものが p 個、q 個、r 個…あるとき、並べ方は
n! / (p! q! r! …)
a、a、a、b、b の 5 文字の並べ方：5! / (3! 2!) = 120 / 12 = 10 通り （考え方：5 か所から a を置く 3 か所を選ぶ ₅C₃ = 10、と同じ）
「SUCCESS」の 7 文字：S が 3、C が 2 → 7! / (3! 2!) = 5040 / 12 = 420 通り
最短経路
碁盤の目で、右に 4 回・上に 3 回進む最短経路：「右 4 個、上 3 個の並べ方」= 7! / (4! 3!) = ₇C₃ = 35 通り
途中の点 P を通る：（A → P）×（P → B）の積 通らない：全体 − 通る
4. 組分け
ここまでできれば十分
6 人を分ける問題は、組に区別があるかどうかで答えが変わる。
| 分け方 | 計算 | 答え |
|---|---|---|
| A 組 2 人、B 組 2 人、C 組 2 人（組に名前がある） | ₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ | 15 × 6 × 1 = 90 |
| 2 人ずつ 3 組（組に区別なし） | 90 ÷ 3! | 15 |
| 3 人、2 人、1 人の 3 組 | ₆C₃ × ₃C₂ × ₁C₁ | 20 × 3 = 60（人数が違うので区別される。÷ 不要） |
| 4 人、2 人の 2 組 | ₆C₄ × ₂C₂ | 15 |
同じ人数の組が k 個あって区別がないなら k! で割る。人数が違えば自然に区別がつくので割らない。
部屋に入れる（空室なし）
「4 人を 2 つの部屋 A、B に入れる。空室なし」：2⁴ − 2 = 14（ha-01 の重複順列）。組に区別がなければ ÷ 2 = 7。
5. 図形の個数
ここまでできれば十分
直線の本数：どの 3 点も一直線上にない n 個の点から 2 点を選ぶ → ₙC₂
6 点 → ₆C₂ = 15 本
三角形の個数：3 点を選ぶ → ₙC₃（一直線上の 3 点があれば引く）
円周上の 7 点 → ₇C₃ = 35 個
平行四辺形：平行な直線群から 2 本ずつ選ぶ
平行線 4 本と、それに交わる平行線 3 本 → ₄C₂ × ₃C₂ = 6 × 3 = 18 個
対角線の本数：ₙC₂ − n（n 角形）
八角形：₈C₂ − 8 = 28 − 8 = 20 本
6. 「並べる」か「選ぶ」か（判定）
もう一歩
| 問題文 | どちら |
|---|---|
| 「〜を選ぶ」「〜の組を作る」「委員を選ぶ」 | 組合せ C |
| 「一列に並べる」「順番をつける」「委員長と副委員長を選ぶ」（役職が違う） | 順列 P |
| 「選んで並べる」 | C × r! = P |
迷ったら、「選んだ結果の順序を入れかえて別のものになるか」を考える。別になるなら順列。
7. 自己チェック
- 選ぶだけなら C、並べるなら P
- ₙCᵣ は r を小さいほうに直したか
- 「少なくとも」は全体 − 反対
- 同じものを含む順列は n! を各個数の階乗で割ったか
- 組分けで、同じ人数の区別のない組は k! で割ったか
8. 小テストへ
→ 小テスト（ha-02）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学A「(2) 場合の数と確率 ア(ア) 場合の数（組合せ）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/ha-02/ ／ 更新 2026-09-12