数学Ⅱ 数学 ／ いろいろな式 ／ h2-01
二項定理・整式の割り算・分数式
この単元でできるようになること
- 二項定理 (a + b)ⁿ = Σ ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ で、展開式の特定の項の係数が求められる
- パスカルの三角形と ₙCᵣ の関係がわかる
- 整式の割り算（筆算）で商と余りが求められ、A = BQ + R の形に書ける
- 分数式の約分・通分・四則計算ができる
- 恒等式の係数を係数比較・数値代入で決められる
入試での位置づけ
数学Ⅱの最初の単元で、整式の割り算は剰余の定理・因数定理（h2-03）の土台、二項定理は確率の二項分布（hb-04）や証明問題で使います。共通テストの『数学Ⅱ，数学B，数学C』で単独で問われることは少ないですが、計算の道具として全分野で必要になります。私立大では「(x + 2)⁶ の x³ の係数」型が小問の定番。
1. 二項定理
まずここだけ
(a + b)ⁿ = ₙC₀ aⁿ + ₙC₁ aⁿ⁻¹ b + ₙC₂ aⁿ⁻² b² + … + ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ + … + ₙCₙ bⁿ
一般項（r 番目の項）：ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
「a を n − r 個、b を r 個選ぶ組合せの数が係数」。ha-02 の組合せそのもの。
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴（係数 1 4 6 4 1 = ₄C₀〜₄C₄） (a + b)⁵ の係数：1 5 10 10 5 1
パスカルの三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1上の 2 つを足すと下になる（ₙ₋₁Cᵣ₋₁ + ₙ₋₁Cᵣ = ₙCᵣ）。n ≦ 6 程度なら書いて使う。
特定の項の係数
(x + 2)⁶ の x³ の係数 一般項 ₆Cᵣ x⁶⁻ʳ 2ʳ。x³ ⇔ 6 − r = 3 ⇔ r = 3。係数 ₆C₃ × 2³ = 20 × 8 = 160
(2x − 3y)⁵ の x²y³ の係数 一般項 ₅Cᵣ (2x)⁵⁻ʳ (−3y)ʳ。r = 3：₅C₃ × 2² × (−3)³ = 10 × 4 × (−27) = −1080
符号のある項は（−3）ごと r 乗する。
(x² + 1/x)⁶ の定数項 一般項 ₆Cᵣ (x²)⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = ₆Cᵣ x¹²⁻³ʳ。定数項 ⇔ 12 − 3r = 0 ⇔ r = 4。₆C₄ = 15
係数の和（発展）
(a + b)ⁿ に a = b = 1 を代入：ₙC₀ + ₙC₁ + … + ₙCₙ = 2ⁿ a = 1、b = −1：ₙC₀ − ₙC₁ + ₙC₂ − … = 0
2. 整式の割り算
まずここだけ
整式 A を整式 B で割った商を Q、余りを R とすると
A = BQ + R（R の次数 < B の次数）
筆算：数の割り算と同じ。降べきの順に整理し、抜けている次数は 0 を書く。
(2x³ − 3x² + 4) ÷ (x − 2)
2x² + x + 2 ┌────────────── x − 2│2x³ − 3x² + 0x + 4 2x³ − 4x² ───────── x² + 0x x² − 2x ─────── 2x + 4 2x − 4 ────── 8商 2x² + x + 2、余り 8。確認：(x − 2)(2x² + x + 2) + 8 = 2x³ − 3x² + 4 ✓
2 次式で割る
余りは 1 次以下（ax + b の形）。
(x³ + 2x² − 5x + 1) ÷ (x² + x − 1)：商 x + 1、余り −5x + 2
割られる式を求める
「A を x² + 1 で割ると商 x − 1、余り 2x + 3」→ A = (x² + 1)(x − 1) + 2x + 3 = x³ − x² + 3x + 2
3. 分数式
ここまでできれば十分
約分：分子・分母を因数分解して共通因数を消す。
(x² − 1)/(x² + 3x + 2) = (x + 1)(x − 1)/{(x + 1)(x + 2)} = (x − 1)/(x + 2)
乗法・除法：因数分解してから約分。割り算は逆数をかける。
加法・減法：通分（分母の最小公倍数）。
1/(x − 1) + 1/(x + 1) = {(x + 1) + (x − 1)}/{(x − 1)(x + 1)} = 2x/(x² − 1) x/(x − 2) − 2/(x − 2) = (x − 2)/(x − 2) = 1
部分分数分解（発展）
1/{x(x + 1)} = 1/x − 1/(x + 1)。数列の和（hb-02）で使う。
4. 恒等式
ここまでできれば十分
恒等式：x にどんな値を入れても成り立つ等式（方程式ではない）。
a(x − 1)² + b(x − 1) + c = 2x² + x + 1 が恒等式になる a、b、c 係数比較：左辺を展開して ax² + (−2a + b)x + (a − b + c)。a = 2、−2a + b = 1 → b = 5、a − b + c = 1 → c = 4 数値代入：x = 1 → c = 4、x = 0 → a − b + c = 1、x = 2 → a + b + c = 11 → a = 2、b = 5
数値代入は速いが、解いた値が本当に恒等式にするか確認が必要（十分性）。
5. 自己チェック
- 二項定理の一般項 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ で、b の符号ごと r 乗したか
- 求める次数から r を決めたか
- 割り算は降べきの順・抜けた次数に 0
- A = BQ + R で確認したか
- 分数式は因数分解してから約分・通分
6. 小テストへ
→ 小テスト（h2-01）
関連する単元
- 前提：h1-01 整式の計算、h1-02 因数分解、ha-02 組合せ
- 次に進む：h2-02 複素数と解と係数の関係
- ここで使う考え方が出てくる：h2-03 剰余の定理・因数定理、hb-04 二項分布
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(1) いろいろな式 ア(ア) 式と証明」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-01/ ／ 更新 2026-09-12