数学B 数学 ／ 統計的な推測 ／ hb-04
確率変数・確率分布・二項分布
この単元でできるようになること
- 確率変数 X の確率分布表を作り、期待値（平均）E(X)、分散 V(X)、標準偏差 σ(X) が計算できる
- V(X) = E(X²) − {E(X)}² が使える
- 変換 Y = aX + b の期待値・分散（E(Y) = aE(X) + b、V(Y) = a²V(X)）がわかる
- 独立な確率変数の和の期待値・分散（E(X + Y) = E(X) + E(Y)、V(X + Y) = V(X) + V(Y)）が使える
- 二項分布 B(n, p) の確率・期待値 np・分散 np(1 − p) が求められる
入試での位置づけ
「統計的な推測」は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の選択問題の 1 つで、新課程では数学B の中心分野です。この単元は二項分布 B(n, p) の平均 np と分散 np(1 − p)が最重要で、次の正規分布（hb-05）へつながります。ha-04 の期待値の拡張として整理します。
1. 確率変数と確率分布
まずここだけ
試行の結果によって値が決まる変数 X を確率変数、X の値と確率の対応表を確率分布という。
さいころ 1 個の出る目 X
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
確率の合計は 1。
2. 期待値・分散・標準偏差
まずここだけ
期待値（平均）E(X) = Σ xᵢ pᵢ（値 × 確率 の合計）= m 分散 V(X) = Σ (xᵢ − m)² pᵢ（偏差の 2 乗 × 確率 の合計） 標準偏差 σ(X) = √V(X)
分散の公式（速い）：V(X) = E(X²) − {E(X)}²
さいころの出る目：E(X) = 21/6 = 7/2、E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6、V(X) = 91/6 − 49/4 = (182 − 147)/12 = 35/12、σ = √35/(2√3) = √105/6
コイン 2 枚で表の枚数 X：P(0) = 1/4、P(1) = 1/2、P(2) = 1/4。E(X) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1、E(X²) = 0 + 1/2 + 1 = 3/2、V(X) = 3/2 − 1 = 1/2
表を作る
| X | x₁ | x₂ | … | 計 |
|---|---|---|---|---|
| P | p₁ | p₂ | … | 1 |
| XP | x₁p₁ | x₂p₂ | … | E(X) |
| X²P | x₁²p₁ | x₂²p₂ | … | E(X²) |
3 行目・4 行目の合計から E(X)、E(X²) を出すと計算ミスが減る。
3. 確率変数の変換
まずここだけ
Y = aX + b のとき、
E(Y) = aE(X) + b、V(Y) = a²V(X)、σ(Y) = |a|σ(X)
（h1-13 のデータの変換と同じ。足しても散らばりは変わらず、a 倍で分散は a² 倍）
さいころの目 X に対し Y = 2X − 1：E(Y) = 2·(7/2) − 1 = 6、V(Y) = 4·(35/12) = 35/3
4. 確率変数の和
ここまでできれば十分
E(X + Y) = E(X) + E(Y)（常に成り立つ） X と Y が独立なら V(X + Y) = V(X) + V(Y)、E(XY) = E(X)E(Y)
さいころ 2 個の目の和 S = X + Y：E(S) = 7/2 + 7/2 = 7、V(S) = 35/12 + 35/12 = 35/6
独立：一方の結果が他方の確率に影響しない（さいころ 2 個、復元抽出など）。分散の加法性は独立のときだけ。
aX + bY
V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y)（独立のとき）。V(X − Y) = V(X) + V(Y)（引き算でも足す）。
5. 二項分布
ここまでできれば十分
1 回の試行で事象 A が起こる確率が p の試行を n 回独立にくり返すとき、A が起こる回数 X の分布を二項分布 B(n, p) という。
P(X = k) = ₙCₖ pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ（ha-03 の反復試行）
E(X) = np、V(X) = np(1 − p)、σ(X) = √{np(1 − p)}
さいころを 30 回投げて 1 の目が出る回数 X は B(30, 1/6)：E(X) = 5、V(X) = 30·(1/6)(5/6) = 25/6 コインを 100 回投げて表が出る回数：B(100, 1/2)、E = 50、V = 25、σ = 5
理由（発展）
各回の「起これば 1、起こらなければ 0」の変数 Xᵢ は E = p、V = p(1 − p)。X = X₁ + … + Xₙ で、独立なので和の公式から np、np(1 − p)。
問題の型
- 「B(n, p) に従うとき E、V を求めよ」→ 公式
- 「X の確率分布を求め、期待値を計算せよ」→ 表を作って Σ
- 「E(aX + b)、V(aX + b) を求めよ」→ 変換の公式
6. よくある間違い
- 分散を E(X²) − E(X) とする（2 乗を忘れる）
- V(aX + b) で b を残す、a² でなく a 倍にする
- 独立でない 2 変数の分散を足す
- 二項分布の分散を np にする → np(1 − p)
- 確率の合計が 1 になっているか確かめない
7. 自己チェック
- 表を作り、確率の合計 1 を確認
- E(X) = Σxp、V(X) = E(X²) − {E(X)}²
- E(aX + b) = aE + b、V(aX + b) = a²V
- 独立なら V(X + Y) = V(X) + V(Y)
- B(n, p)：E = np、V = np(1 − p)
8. 小テストへ
→ 小テスト（hb-04）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学B「(2) 統計的な推測 ア(ア) 確率分布（確率変数と確率分布、二項分布）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hb-04/ ／ 更新 2026-09-12