数学Ⅰ 数学 ／ データの分析 ／ h1-13

更新 2026-09-12

データの分析 ① ── 代表値・四分位数・箱ひげ図・分散・標準偏差

この単元でできるようになること

• 平均値・中央値・最頻値を求め、使い分けられる
• 四分位数・四分位範囲を求め、箱ひげ図をかける・読める
• 外れ値の基準（第 1 四分位数 − 1.5 × 四分位範囲 など）がわかる
• 分散・標準偏差を定義から計算できる
• 分散の公式 s² = （2 乗の平均）−（平均の 2 乗）で速く計算できる
• データを一律に変換（全部に a を足す・b 倍する）したときの平均・分散の変化がわかる

入試での位置づけ

「データの分析」は共通テスト数学Ⅰ・A で必ず大問 1 つが出ます。ただし計算より箱ひげ図・ヒストグラム・散布図を読んで正しい記述を選ぶ問題が中心で、「分散の意味」「四分位範囲と範囲の違い」を正確に理解していれば取れる分野です。数学B の統計的な推測（hb-04・05）の土台でもあります。

1. 代表値

まずここだけ

データ 2, 3, 3, 5, 12：平均 25/5 = 5、中央値 3、最頻値 3 12 が 100 になると平均は 22.6 に跳ね上がるが、中央値は 3 のまま。

2. 四分位数と箱ひげ図

まずここだけ

データを小さい順に並べ、中央値で前半・後半に分ける（奇数個なら中央値は両方に含めない）。

• 第 1 四分位数 Q₁：前半の中央値
• 第 2 四分位数 Q₂：全体の中央値
• 第 3 四分位数 Q₃：後半の中央値
• 四分位範囲 = Q₃ − Q₁（真ん中 50% の広がり）
• 範囲 = 最大値 − 最小値

1, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15（8 個） 前半 1, 3, 4, 6 → Q₁ = (3 + 4)/2 = 3.5、Q₂ = (6 + 8)/2 = 7、後半 8, 9, 12, 15 → Q₃ = (9 + 12)/2 = 10.5 四分位範囲 10.5 − 3.5 = 7、範囲 15 − 1 = 14

2, 4, 5, 7, 9, 10, 13（7 個） 中央値 7 を除いて、前半 2, 4, 5 → Q₁ = 4、後半 9, 10, 13 → Q₃ = 10

箱ひげ図

最小値 ─ Q₁ ┃ Q₂ ┃ Q₃ ─ 最大値 を横に並べた図。箱が Q₁〜Q₃（真ん中 50%）、ひげが最小・最大まで。

読み方のポイント：

• 箱の長さ = 四分位範囲。箱が短い ⇒ 真ん中 50% が集中
• 箱の中の線が中央値。平均値は箱ひげ図からはわからない（別に印があれば読む）
• 各区間（最小〜Q₁、Q₁〜Q₂、Q₂〜Q₃、Q₃〜最大）にデータの約 25% ずつが入る
• 「Q₃ より大きいデータは全体の約 25%」のような割合の判断に使う

外れ値

Q₁ − 1.5 × 四分位範囲 より小さい値、または Q₃ + 1.5 × 四分位範囲 より大きい値を外れ値とする（教科書の基準）。

Q₁ = 3.5、Q₃ = 10.5、四分位範囲 7 → 3.5 − 10.5 = −7 未満、10.5 + 10.5 = 21 より大きい値が外れ値

3. 分散と標準偏差

まずここだけ

偏差：各データ − 平均（x − x̄）。偏差の合計は必ず 0。

分散 s² = 偏差の 2 乗の平均 = {(x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²} / n 標準偏差 s = √(分散)（単位がデータと同じになる）

データ 2, 4, 6, 8：平均 5。偏差 −3, −1, 1, 3。偏差の 2 乗 9, 1, 1, 9。 分散 = 20/4 = 5、標準偏差 = √5

分散が大きい ⇒ 散らばりが大きい。

分散の公式（速い）

s² = （x² の平均）−（x̄）²

2, 4, 6, 8：x² の平均 = (4 + 16 + 36 + 64)/4 = 30。x̄² = 25。分散 = 30 − 25 = 5 ✓

平均が小数のときはこちらが楽。

よくある間違い

• 偏差の合計を分散と思う（合計は 0）
• 分散を n − 1 で割る（高校では n で割る）
• 標準偏差を求めるのに √ を忘れる
• 「分散が大きい = 平均が大きい」と誤解する（分散は散らばり）

4. データの変換

ここまでできれば十分

全データを y = ax + b に変換すると、

テストの点数（平均 60、標準偏差 10）を全員 5 点加点 → 平均 65、標準偏差 10 全員 2 倍 → 平均 120、分散 4 倍、標準偏差 20

足しても散らばりは変わらない、かけると散らばりも a 倍。

度数分布表からの計算

階級値 × 度数の合計 ÷ 総度数で平均。分散も階級値で計算する。

5. 読み取り問題のコツ

もう一歩

共通テストの記述選択問題で問われる「正しい／正しくない」の典型：

定義に戻って確かめる。「〜のように見える」で判断しない。

6. 自己チェック

1. 中央値は並べ替えてから。偶数個なら中央 2 つの平均
2. Q₁・Q₃ は前半・後半の中央値（奇数個なら中央値を除く）
3. 分散は偏差の 2 乗の平均。標準偏差は √
4. 全部に足す → 分散は変わらない。a 倍 → 分散は a² 倍
5. 箱ひげ図から平均値は読めない

7. 小テストへ

→ 小テスト（h1-13）

関連する単元

• 前提：中1 m1-17 データの活用、中2 m2-15 四分位範囲と箱ひげ図
• 次に進む：h1-14 散布図・相関係数
• ここで使う考え方が出てくる：hb-04 確率分布（期待値・分散）、hb-05 正規分布

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(4) データの分析 ア(ア) 分散，標準偏差」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h1-13/ ／ 更新 2026-09-12

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