数学B 数学 ／ 数列 ／ hb-03
漸化式・数学的帰納法
この単元でできるようになること
- 漸化式から数列の項を順に求められる
- 等差型 aₙ₊₁ = aₙ + d、等比型 aₙ₊₁ = raₙ、階差型 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) の一般項が求められる
- aₙ₊₁ = paₙ + q 型を、特性方程式で等比数列に変形して解ける
- 数学的帰納法で、自然数 n についての等式・不等式を証明する型が書ける
入試での位置づけ
漸化式は共通テストの数列の大問の後半の定番で、「aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 型」は毎年のように出ます。「特性方程式 α = pα + q を解いて aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α)」の変形を反射的にできることが目標。数学的帰納法は記述式（国公立二次）で出題され、型どおりに書くことが得点につながります。
1. 漸化式とは
まずここだけ
「前の項から次の項を作る規則」を式で書いたもの。初項（a₁）と漸化式で数列が決まる。
a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ + 3 → a₂ = 4、a₃ = 7、a₄ = 10、…（等差数列） a₁ = 2、aₙ₊₁ = 3aₙ → 2, 6, 18, 54, …（等比数列）
基本 3 型
| 型 | 漸化式 | 一般項 |
|---|---|---|
| 等差型 | aₙ₊₁ = aₙ + d | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| 等比型 | aₙ₊₁ = raₙ | aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ |
| 階差型 | aₙ₊₁ = aₙ + f(n) | aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ f(k)（n ≧ 2） |
a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ + 2n → aₙ = 1 + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2k = 1 + (n − 1)n = n² − n + 1
2. aₙ₊₁ = paₙ + q 型 ── 特性方程式
まずここだけ
a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 の一般項。
手順：
- 特性方程式 α = 2α + 1 を解く → α = −1
- 漸化式から特性方程式を引く：aₙ₊₁ − α = 2(aₙ − α) → aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1)
- bₙ = aₙ + 1 とおくと bₙ₊₁ = 2bₙ（等比、初項 b₁ = a₁ + 1 = 2）→ bₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ
- aₙ = 2ⁿ − 1
（検算：a₂ = 3、a₃ = 7 ✓）
a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ − 4：α = 3α − 4 → α = 2。aₙ₊₁ − 2 = 3(aₙ − 2)、a₁ − 2 = 3 → aₙ − 2 = 3 · 3ₙ₋₁ = 3ⁿ → aₙ = 3ⁿ + 2
特性方程式の解 α は「aₙ を α にすると変わらない値」（不動点）。aₙ − α が等比数列になる。
p = 1 のときは等差型
aₙ₊₁ = aₙ + q（特性方程式が解けない）→ 等差数列。
3. その他の型（発展）
ここまでできれば十分
aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ 型：両辺を qⁿ⁺¹ で割ると bₙ = aₙ/qⁿ の漸化式になる（または pⁿ⁺¹ で割る）。
aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ：3ⁿ⁺¹ で割って aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = (2/3)(aₙ/3ⁿ) + 1/3 → bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3（特性方程式型）
aₙ₊₁ = paₙ + qn + r 型：aₙ = bₙ + αn + β とおいて 1 次の項を消す。または階差をとる。
分数型 aₙ₊₁ = aₙ/(aₙ + 1)：逆数をとる（1/aₙ₊₁ = 1/aₙ + 1）。
Sₙ と aₙ の関係：aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ で漸化式に直す。
隣接 3 項間 aₙ₊₂ = paₙ₊₁ + qaₙ：x² = px + q の 2 解 α、β で aₙ₊₂ − αaₙ₊₁ = β(aₙ₊₁ − αaₙ)。数学Ⅲ寄りだが共通テストの誘導つきで出ることがある。
4. 数学的帰納法
ここまでできれば十分
「すべての自然数 n について P(n) が成り立つ」を示す方法。
型： [1] n = 1 のとき P(1) が成り立つことを示す。 [2] n = k のとき成り立つと仮定すると、n = k + 1 のときも成り立つことを示す。 [1][2] より、すべての自然数 n について成り立つ。
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 の証明 [1] n = 1：左辺 1、右辺 1·2/2 = 1 で成立。 [2] n = k で成立すると仮定：1 + … + k = k(k + 1)/2。 n = k + 1 のとき：左辺 = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 = 右辺（n = k + 1 を代入した形）。成立。 [1][2] より示された。
ポイント
- [2] では仮定の式を必ず使う（使わずに示せたら帰納法の意味がない）
- 「示したい式（n = k + 1）」を先に書き出しておくと、変形のゴールが見える
- 不等式の証明では、仮定の式で置きかえたあと「≧」の向きに注意
- 「n ≧ 2」など出発点が 1 でない場合は [1] を n = 2 で示す
倍数の証明（発展）
「4ⁿ − 1 は 3 の倍数」：4ᵏ − 1 = 3m と仮定 → 4ᵏ⁺¹ − 1 = 4·4ᵏ − 1 = 4(3m + 1) − 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1)。
5. よくある間違い
- 特性方程式の α を「一般項」と思う → aₙ − α が等比数列
- aₙ − α の初項を a₁ にする → a₁ − α
- 階差型で Σ の上端を n にする → n − 1
- 帰納法の [2] で仮定を使っていない
- 帰納法の [1] を書き忘れる
6. 自己チェック
- aₙ₊₁ = paₙ + q は特性方程式 α = pα + q → aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α)
- 等比数列の初項は a₁ − α
- 求めた一般項を a₂、a₃ で検算したか
- 帰納法は [1] n = 1、[2] k → k + 1、仮定を使う
7. 小テストへ
→ 小テスト（hb-03）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学B「(1) 数列 ア(イ) 漸化式と数学的帰納法」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hb-03/ ／ 更新 2026-09-12