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小テスト ／ ha-04

条件付き確率・期待値

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条件付き確率・期待値 ── 問題

基礎

  1. 31 人のクラスで、男子 19 人・女子 12 人。めがねをかけている人は男子 7 人・女子 5 人である。1 人を選んだところ女子だった。この人がめがねをかけている確率を求めなさい。
  2. 37 人のクラスで、男子 24 人・女子 13 人。めがねをかけている人は男子 3 人・女子 7 人である。1 人を選んだところめがねをかけていた。この人が女子である確率を求めなさい。
  3. 赤玉 4 個、白玉 5 個が入った袋から、1 個ずつ 2 回、戻さずに取り出す。1 回目が赤、2 回目が白である確率を求めなさい。
  4. 当たり 3 本、はずれ 6 本のくじを、A、B の順に 1 本ずつ引く（戻さない）。B が当たる確率を求めなさい。
  5. 1 等 2000 円が 1 本、2 等 100 円が 5 本、はずれ（0 円）が 94 本のくじがある。1 本引いたときの賞金の期待値を求めなさい。
  6. さいころを 1 回投げたときの出る目の期待値はどれですか。　（ア 7/2　イ 3　ウ 21　エ 6）

標準

  1. 袋 A には赤玉 4 個・白玉 2 個、袋 B には赤玉 4 個・白玉 3 個が入っている。コインを投げて表なら A、裏なら B から 1 個取り出す。取り出した玉が赤だったとき、それが袋 A から取り出された確率を求めなさい。
  2. 赤玉 5 個、白玉 5 個が入った袋から、1 個ずつ 2 回、戻さずに取り出す。2 回目が赤である確率を求めなさい。
  3. コインを 2 回投げ、表が出た回数 × 50 円をもらえるゲームがある。もらえる金額の期待値を求めなさい。
  4. 袋 A（赤 2・白 1）、袋 B（赤 1・白 3）。さいころで 1・2 なら A、3〜6 なら B から 1 個取り出す。取り出した玉が赤だったとき、袋 A から取り出した確率はどれですか。　（ア 4/7　イ 2/9　ウ 7/18　エ 2/3）
  5. 1〜10 のカードから 1 枚引き、偶数だった。それが 4 の倍数である確率はどれですか。　（ア 2/5　イ 1/5　ウ 1/2　エ 2/10）
  6. 参加料 30 円で、さいころを 1 回投げて出た目 × 10 円をもらえるゲームは、参加者にとって有利ですか。　（ア 期待値 35 円 > 30 円なので有利　イ 期待値 30 円なので損得なし　ウ 期待値 21 円 < 30 円なので不利　エ 期待値 60 円なので有利）

発展

  1. ある病気の検査で、病気の人が陽性になる確率 0.9、病気でない人が陽性になる確率 0.1。病気の人は全体の 1%。陽性と出た人が実際に病気である確率に最も近いものはどれですか。　（ア 約 8%　イ 約 90%　ウ 約 50%　エ 約 1%）
  2. 赤 3・白 2 の袋から 1 個ずつ 3 回、戻さずに取り出す。3 回目が白である確率はどれですか。　（ア 2/5　イ 1/5　ウ 3/10　エ 1/2）
  3. 2 個のさいころを投げて、出た目の和が 6 だったとき、少なくとも 1 個が 2 である確率はどれですか。　（ア 2/5　イ 1/3　ウ 1/5　エ 11/36）

条件付き確率・期待値 ── 解答

基礎

  1. 5/12　女子 12 人にしぼり、その中でめがね 5 人。5/12 = 5/12。
  2. 7/10　めがねの 10 人にしぼり、その中で女子 7 人。7/10 = 7/10。
  3. 5/18　乗法定理：1 回目赤 4/9、残り 8 個から白 5/8。積で 5/18。
  4. 1/3　A 当たり → B 当たり 1/12、A はずれ → B 当たり 1/4。和は 1/3。A が当たる確率 3/9 と同じ（くじ引きは順番に関係ない）。
  5. 25　全部で 100 本。期待値 = 2000×1/100 + 100×5/100 + 0 = 2500/100 = 25 円。
  6. ア　7/2　(1 + 2 + … + 6)/6 = 21/6 = 7/2。

標準

  1. 7/13　A から赤：(1/2)×4/6 = 1/3、B から赤：(1/2)×4/7 = 2/7。赤の確率 13/21。求める確率 = 1/3 ÷ 13/21 = 7/13。
  2. 1/2　1 回目赤 → 2 回目赤 2/9、1 回目白 → 2 回目赤 5/18。和は 1/2（1 回目が赤である確率と同じ）。
  3. 50　表の回数の期待値は 2 × 1/2 = 1 回（各回数の確率 × 回数を足しても同じ）。× 50 円で 50 円。
  4. ア　4/7　A から赤 (1/3)(2/3) = 2/9、B から赤 (2/3)(1/4) = 1/6。赤の確率 7/18。(2/9)/(7/18) = 4/7。
  5. ア　2/5　偶数 5 枚の中で 4 の倍数は 4、8 の 2 枚。2/5。
  6. ア　期待値 35 円 > 30 円なので有利　出る目の期待値 3.5 × 10 = 35 円。参加料より大きいので平均的には有利。

発展

  1. ア　約 8%　病気かつ陽性 0.01 × 0.9 = 0.009、病気でなく陽性 0.99 × 0.1 = 0.099。陽性の確率 0.108。0.009/0.108 ≒ 0.083。
  2. ア　2/5　くじ引きと同じで、何回目でも白の確率は 2/5。（全経路を足しても 2/5）
  3. ア　2/5　和が 6：(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) の 5 通り。2 を含むのは (2,4)(4,2) の 2 通り。2/5。

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