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小テスト ／ ha-06

円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理）

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円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理） ── 問題

基礎

  1. 四角形 ABCD が円に内接し、∠A = 76°、∠B = 57° のとき、∠C と ∠D の大きさの和を求めなさい。
  2. 四角形 ABCD が円に内接し、∠A = 87° のとき、∠C の外角の大きさを求めなさい。
  3. 円の 2 つの弦 AB、CD が円の内部の点 P で交わっている。PA = 2、PB = 8、PC = 6 のとき、PD の長さを求めなさい。
  4. 円の外部の点 P から円に接線 PT（T は接点）と、円と 2 点 A、B で交わる直線を引く。PA = 1、AB = 10 のとき、PT の長さを求めなさい。　（ア 1 + √11　イ √11　ウ 11　エ √10）
  5. △ABC の内接円が辺 AB、CA と接する点をそれぞれ R、Q とする。AB = 9、BC = 5、CA = 9 のとき、AR の長さを求めなさい。
  6. 4 点 A、B、C、D が同一円周上にある条件として正しくないものはどれですか。　（ア 四角形 ABCD の対角の和が 180°　イ ∠ACB = ∠ADB（C、D が AB の同じ側）　ウ 四角形 ABCD の向かい合う角が等しい　エ ∠C の外角が ∠A に等しい）

標準

  1. 半径 8 と半径 2 の 2 つの円の中心間の距離が 14 のとき、2 円の位置関係と共通接線の本数を答えなさい。　（ア 離れている（共通接線 4 本）　イ 2 点で交わる（2 本）　ウ 外接する（3 本）　エ 内接する（1 本））
  2. 半径 6 と半径 3 の 2 つの円があり、中心間の距離は 5 である（2 円は一方が他方の内部にはない）。共通外接線の長さを求めなさい。　（ア 4　イ √34　ウ 2）
  3. 円の接線 AT（T が接点）と弦 TB の作る角が 50° のとき、弦 TB に対する円周角（AT と反対側）はどれですか。　（ア 50°　イ 40°　ウ 100°　エ 130°）
  4. 円の外部の点 P から 2 本の割線を引き、一方が円と A、B（PA = 3、PB = 8）、他方が C、D（PC = 4）で交わるとき、PD はどれですか。　（ア 6　イ 2　ウ 12　エ 32/3）
  5. 円 O の直径 AB 上の点 P を通り AB に垂直な弦 CD について、PA = 2、PB = 8 のとき、CD の長さはどれですか。　（ア 8　イ 4　ウ 16　エ 10）

発展

  1. 点 P から円に引いた接線の長さが 6、P から円の中心 O までの距離が 10 のとき、円の半径はどれですか。　（ア 8　イ 4　ウ √136　エ 2√34）
  2. △ABC の頂点 B、C から対辺に下ろした垂線の足を E、F とする。4 点 B、C、E、F について正しいものはどれですか。　（ア BC を直径とする同一円周上にある　イ 同一円周上にはない　ウ EF を直径とする同一円周上にある　エ B、C、E、F は一直線上にある）
  3. 半径 3 と半径 1 の 2 円が外接している。共通外接線の長さはどれですか。　（ア 2√3　イ √12 × 2　ウ 4　エ 2√2）

円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理） ── 解答

基礎

  1. 227　対角の和は 180° なので ∠C = 180° − 76° = 104°、∠D = 180° − 57° = 123°。和は 227°。
  2. 87　∠C = 180° − 87° = 93°、その外角は 180° − 93° = 87°。「外角 = 内対角（∠A）」。
  3. 8/3　方べきの定理：PA × PB = PC × PD。2 × 8 = 6 × PD → PD = 16/6 = 8/3。
  4. イ　√11　方べきの定理：PT² = PA × PB = 1 × 11 = 11。PT = √11。
  5. 13/2　AR = AQ = x とおくと BR = 9 − x、CQ = 9 − x。BP = BR、CP = CQ より (9 − x) + (9 − x) = 5 → x = (9 + 9 − 5)/2 = 13/2。
  6. ウ　四角形 ABCD の向かい合う角が等しい　内接四角形の条件は「対角の和が 180°」。向かい合う角が等しいのは平行四辺形の性質。

標準

  1. ア　離れている（共通接線 4 本）　r + r′ = 10、r − r′ = 6 と d = 14 を比べる。離れている（共通接線 4 本）
  2. ア　4　中心を結ぶ線・半径の差 3・接線で直角三角形。長さ = √(d² − (r − r′)²) = √(25 − 9) = 4。
  3. ア　50°　接弦定理：接線と弦の作る角は、その弦に対する円周角に等しい。
  4. ア　6　PA × PB = PC × PD → 24 = 4 × PD → PD = 6。
  5. ア　8　PC = PD（直径に垂直な弦は二等分される）。方べき PC² = 2 × 8 = 16 → PC = 4、CD = 8。

発展

  1. ア　8　接点 T で OT ⊥ PT。OT² = OP² − PT² = 100 − 36 = 64 → 8。
  2. ア　BC を直径とする同一円周上にある　∠BEC = ∠BFC = 90° なので、BC を直径とする円周上にある（円周角の定理の逆）。
  3. ア　2√3　d = 3 + 1 = 4。√(16 − (3 − 1)²) = √12 = 2√3。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/ha-06/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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