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小テスト ／ hb-03

漸化式・数学的帰納法

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漸化式・数学的帰納法 ── 問題

基礎

  1. a₁ = 3、aₙ₊₁ = −aₙ − 3 で定められる数列の第 3 項を求めなさい。
  2. a₁ = −3、aₙ₊₁ = aₙ − 3 で定められる数列の一般項を求めなさい。　（ア aₙ = −3 · (−3)^(n−1)　イ aₙ = −3n　ウ aₙ = −3n − 3）
  3. a₁ = 2、aₙ₊₁ = 2aₙ で定められる数列の一般項を求めなさい。　（ア aₙ = 2 · 2^n　イ aₙ = 2 · 2^(n−1)　ウ aₙ = 2n）
  4. a₁ = 2、aₙ₊₁ = 2aₙ + 6 で定められる数列の一般項を求めなさい。　（ア aₙ = 8 · 2^(n−1) − 6　イ aₙ = 8 · 2^(n−1) + 6　ウ aₙ = 2 · 2^(n−1) − 6　エ aₙ = 8 · 2^n − 6）
  5. a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 の一般項はどれですか。　（ア aₙ = 2ⁿ − 1　イ aₙ = 2ⁿ⁻¹　ウ aₙ = 2ⁿ + 1　エ aₙ = 2n − 1）

標準

  1. a₁ = 4、aₙ₊₁ = aₙ + 4n で定められる数列の一般項を求めなさい。　（ア aₙ = 4n + 4　イ aₙ = 2n² + 2n + 4　ウ aₙ = 2n² − 2n + 4　エ aₙ = 4n² − 4n + 4）
  2. a₁ = −1、aₙ₊₁ = 2aₙ − 6 で定められる数列について、bₙ = aₙ − 6 とおくと {bₙ} はどのような数列になりますか。　（ア 初項 −1、公比 2 の等比数列　イ 初項 −7、公比 −6 の等比数列　ウ 初項 −7、公差 −6 の等差数列　エ 初項 −7、公比 2 の等比数列）
  3. 数学的帰納法で「すべての自然数 n について 2ⁿ > n（n ≧ 1）」を証明するとき、[2] の段階で仮定する式と示す式の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア 仮定：2ᵏ⁺¹ > k + 1　示す：2ᵏ > k　イ 仮定：2ᵏ > k　示す：2ᵏ > k　ウ 仮定：2ᵏ > k　示す：2ᵏ⁺¹ > k + 1　エ 仮定：2ⁿ > n（n ≧ 1）　示す：2ᵏ⁺¹ > k + 1）
  4. a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 の一般項はどれですか。　（ア aₙ = 3ⁿ + 2　イ aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2　ウ aₙ = 5·3ⁿ⁻¹ − 4　エ aₙ = 3ⁿ − 2）
  5. 数学的帰納法の [2] で最も重要なことはどれですか。　（ア n = k の仮定の式を必ず使って n = k + 1 を示す　イ n = k + 1 を代入して計算する　ウ n = 1 の場合を再び確かめる　エ n = k の式を証明する）

発展

  1. a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ/(aₙ + 1) の一般項はどれですか（ヒント：逆数をとる）。　（ア aₙ = 1/n　イ aₙ = 1/2ⁿ⁻¹　ウ aₙ = n　エ aₙ = 1/(n + 1)）
  2. 「4ⁿ − 1 は 3 の倍数」を帰納法で示すとき、4ᵏ − 1 = 3m と仮定して 4ᵏ⁺¹ − 1 を変形したものはどれですか。　（ア 4(3m + 1) − 1 = 3(4m + 1)　イ 4·3m − 1　ウ 3m + 4　エ 4(3m) − 1 = 12m − 1）
  3. 数列 {aₙ} の初項から第 n 項までの和 Sₙ が Sₙ = 2aₙ − 1 を満たすとき、aₙ はどれですか。　（ア aₙ = 2ⁿ⁻¹　イ aₙ = 2ⁿ　ウ aₙ = n　エ aₙ = 2n − 1）

漸化式・数学的帰納法 ── 解答

基礎

  1. 3　順に計算：a₁ から 3、−6、3。第 3 項は 3。
  2. イ　aₙ = −3n　等差型（公差 −3）。aₙ = a₁ + (n − 1)d = −3 + (n − 1)·(−3)。aₙ = −3n
  3. イ　aₙ = 2 · 2^(n−1)　等比型（公比 2）。aₙ = a₁·r^(n−1)。aₙ = 2 · 2^(n−1)
  4. ア　aₙ = 8 · 2^(n−1) − 6　特性方程式 α = 2α + 6 → α = −6。aₙ₊₁ − (−6) = 2(aₙ − (−6))。bₙ = aₙ − (−6) は初項 8、公比 2 の等比数列。aₙ = 8 · 2^(n−1) − 6
  5. ア　aₙ = 2ⁿ − 1　α = 2α + 1 → α = −1。aₙ + 1 = 2(aₙ₋₁ + 1) → aₙ + 1 = 2·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ。

標準

  1. ウ　aₙ = 2n² − 2n + 4　階差型：aₙ = a₁ + Σ_(k=1)^(n−1) (4k)（n ≧ 2）。Σ の公式で整理し、n = 1 でも成り立つことを確かめる。aₙ = 2n² − 2n + 4
  2. エ　初項 −7、公比 2 の等比数列　特性方程式 α = 2α − 6 → α = 6。aₙ₊₁ − (6) = 2(aₙ − (6)) より bₙ₊₁ = 2bₙ、b₁ = a₁ − (6)。初項 −7、公比 2 の等比数列
  3. ウ　仮定：2ᵏ > k　示す：2ᵏ⁺¹ > k + 1　n = k で成り立つと仮定し、n = k + 1 で成り立つことを示す。示す式は n に k + 1 を代入した形。仮定：2ᵏ > k　示す：2ᵏ⁺¹ > k + 1
  4. ア　aₙ = 3ⁿ + 2　α = 2。aₙ − 2 = 3(aₙ₋₁ − 2)、a₁ − 2 = 3 → aₙ − 2 = 3·3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ。
  5. ア　n = k の仮定の式を必ず使って n = k + 1 を示す　仮定を使わなければ帰納法にならない。

発展

  1. ア　aₙ = 1/n　1/aₙ₊₁ = 1/aₙ + 1。1/aₙ は初項 1、公差 1 の等差数列 → 1/aₙ = n。
  2. ア　4(3m + 1) − 1 = 3(4m + 1)　4ᵏ = 3m + 1 なので 4ᵏ⁺¹ − 1 = 4(3m + 1) − 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1)。
  3. ア　aₙ = 2ⁿ⁻¹　a₁ = S₁ = 2a₁ − 1 → a₁ = 1。aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2aₙ − 2aₙ₋₁ → aₙ = 2aₙ₋₁。等比数列。

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