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小テスト ／ hb-04

確率変数・確率分布・二項分布

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確率変数・確率分布・二項分布 ── 問題

基礎

  1. 確率変数 X の確率分布が次の表で与えられるとき、期待値 E(X) と分散 V(X) を求めなさい。 X：0、1、2、3 P：1/8、3/8、3/8、1/8　（ア E(X) = 3、V(X) = 3/4　イ E(X) = 3/2、V(X) = 3/4　ウ E(X) = 3/2、V(X) = 3/2　エ E(X) = 3/2、V(X) = 3）
  2. 確率変数 X の期待値が 10、分散が 7 のとき、Y = −3X + 1 の期待値と分散を求めなさい。　（ア E(Y) = −29、V(Y) = −20　イ E(Y) = −30、V(Y) = 63　ウ E(Y) = −29、V(Y) = −21　エ E(Y) = −29、V(Y) = 63）
  3. 確率変数 X が二項分布 B(20, 1/4) に従うとき、期待値 E(X) と分散 V(X) を求めなさい。　（ア E(X) = 5、V(X) = √15/2　イ E(X) = 5、V(X) = 5　ウ E(X) = 5、V(X) = 15/4　エ E(X) = 15、V(X) = 15/4）
  4. さいころを 180 回投げて 4 の目が出る回数を X とするとき、X の期待値と標準偏差を求めなさい。　（ア E(X) = 30、σ(X) = 25　イ E(X) = 30、σ(X) = 5　ウ E(X) = 150、σ(X) = 5　エ E(X) = 30、σ(X) = √30）
  5. さいころ 1 個の出る目 X の分散 V(X) はどれですか。　（ア 35/12　イ 7/2　ウ 91/6　エ 35/6）

標準

  1. 独立な確率変数 X、Y について E(X) = 1、V(X) = 3、E(Y) = 4、V(Y) = 6 のとき、2X − 2Y の期待値と分散を求めなさい。　（ア 期待値 −6、分散 −12　イ 期待値 10、分散 36　ウ 期待値 −6、分散 36　エ 期待値 −6、分散 −6）
  2. コインを 100 回投げて表が出る回数を X とする。Y = 4X − 3 の期待値と分散を求めなさい。　（ア E(Y) = 197、V(Y) = 400　イ E(Y) = 197、V(Y) = 800　ウ E(Y) = 197、V(Y) = 97　エ E(Y) = 200、V(Y) = 400）
  3. 確率変数 X が二項分布 B(6, 1/4) に従うとき、P(X = 4) を求めなさい。
  4. コイン 2 枚を投げて表の枚数を X とするとき、E(X) と V(X) の組み合わせはどれですか。　（ア E(X) = 1、V(X) = 1/2　イ E(X) = 1、V(X) = 1　ウ E(X) = 1/2、V(X) = 1/4　エ E(X) = 1、V(X) = 3/2）
  5. さいころ 2 個の目の和 S の期待値と分散はどれですか。　（ア E(S) = 7、V(S) = 35/6　イ E(S) = 7、V(S) = 35/12　ウ E(S) = 7、V(S) = 35/3　エ E(S) = 7/2、V(S) = 35/6）

発展

  1. 確率変数 X の分散 V(X) について、正しい式はどれですか。　（ア V(X) = E(X²) − {E(X)}²　イ V(X) = E(X²) − E(X)　ウ V(X) = {E(X)}² − E(X²)　エ V(X) = E(X) − {E(X)}²）
  2. 確率変数 X の標準偏差が 4 のとき、Z = (X − E(X))/4 の期待値と分散はどれですか。　（ア E(Z) = 0、V(Z) = 1　イ E(Z) = 0、V(Z) = 4　ウ E(Z) = E(X)/4、V(Z) = 1　エ E(Z) = 0、V(Z) = 1/4）
  3. 1 枚 100 円のくじが 100 本あり、1 等 2000 円 1 本、2 等 500 円 4 本、3 等 100 円 20 本。1 本引いたときの賞金 X の期待値はどれですか。　（ア 60 円　イ 70 円　ウ 100 円　エ 26 円）

確率変数・確率分布・二項分布 ── 解答

基礎

  1. イ　E(X) = 3/2、V(X) = 3/4　E(X) = Σ xp = 3/2。E(X²) = Σ x²p = 3。V(X) = E(X²) − {E(X)}² = E(X) = 3/2、V(X) = 3/4
  2. エ　E(Y) = −29、V(Y) = 63　E(aX + b) = aE(X) + b = −3·10 + 1、V(aX + b) = a²V(X) = 9·7。E(Y) = −29、V(Y) = 63
  3. ウ　E(X) = 5、V(X) = 15/4　B(n, p) では E(X) = np、V(X) = np(1 − p)。20·1/4 と 20·1/4·3/4。E(X) = 5、V(X) = 15/4
  4. イ　E(X) = 30、σ(X) = 5　X は B(180, 1/6)。E = 180·1/6 = 30、V = 180·(1/6)(5/6) = 25、σ = √V。E(X) = 30、σ(X) = 5
  5. ア　35/12　E(X²) − {E(X)}² = 91/6 − 49/4 = 35/12。

標準

  1. ウ　期待値 −6、分散 36　E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。独立なので V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y) = 4·3 + 4·6（b が負でも足す）。期待値 −6、分散 36
  2. ア　E(Y) = 197、V(Y) = 400　X は B(100, 1/2) で E(X) = 50、V(X) = 25。E(Y) = 4·50 − 3、V(Y) = 4²·25。E(Y) = 197、V(Y) = 400
  3. 135/4096　P(X = k) = ₙCₖ pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ = 15·(1/4)^4·(3/4)^2 = 135/4096。
  4. ア　E(X) = 1、V(X) = 1/2　B(2, 1/2)：E = 1、V = 2·(1/2)(1/2) = 1/2。
  5. ア　E(S) = 7、V(S) = 35/6　独立なので E(X + Y) = 7/2 + 7/2、V(X + Y) = 35/12 + 35/12。

発展

  1. ア　V(X) = E(X²) − {E(X)}²　Σ(x − m)²p を展開すると E(X²) − 2mE(X) + m² = E(X²) − m²。
  2. ア　E(Z) = 0、V(Z) = 1　Z = X/4 − E(X)/4。E(Z) = E(X)/4 − E(X)/4 = 0、V(Z) = V(X)/16 = 16/16 = 1。（標準化）
  3. ア　60 円　(2000·1 + 500·4 + 100·20)/100 = 6000/100 = 60。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hb-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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