正規分布・標本平均・推定・検定 ── 問題
基礎
- 確率変数 X が正規分布 N(100, 5²) に従うとき、X = 95 を標準化した値 Z を求めなさい。
- 確率変数 Z が標準正規分布 N(0, 1) に従うとき、P(Z ≧ 1.50) を求めなさい。ただし P(0 ≦ Z ≦ 1.50) = 0.4332 とする。
- 確率変数 X が正規分布 N(100, 10²) に従うとき、P(X ≧ 115) を求めなさい。ただし P(0 ≦ Z ≦ 1.50) = 0.4332 とする。
- 母平均 60、母標準偏差 12 の母集団から大きさ 100 の無作為標本を取り出すとき、標本平均 X̄ の期待値と標準偏差を求めなさい。 （ア E(X̄) = 60、σ(X̄) = 12 イ E(X̄) = 60、σ(X̄) = 0.12 ウ E(X̄) = 6、σ(X̄) = 1.2 エ E(X̄) = 60、σ(X̄) = 1.2）
- 正規分布 N(m, σ²) で、m − σ ≦ X ≦ m + σ となる確率に最も近いものはどれですか。 （ア 約 68% イ 約 95% ウ 約 50% エ 約 99.7%）
標準
- 大きさ 100 の標本の平均が 60、母標準偏差が 10 のとき、母平均 m の 95% 信頼区間を求めなさい（小数第 2 位まで）。 （ア 57.42 ≦ m ≦ 62.58 イ 58.04 ≦ m ≦ 61.96 ウ 59.80 ≦ m ≦ 60.20 エ 40.40 ≦ m ≦ 79.60）
- コインを 1600 回投げて表が 860 回出た。「コインは公正である」を帰無仮説として有意水準 5%（両側）で検定するとき、検定統計量 Z の値と結論を答えなさい。 （ア Z = 1.5、棄却しない（公正でないとはいえない） イ Z = 3、棄却する（公正とはいえない） ウ Z = 3、棄却しない（公正でないとはいえない） エ Z = 6、棄却する（公正とはいえない））
- 信頼区間の幅を今の 5 分の 1 にするには、標本の大きさ n を何倍にすればよいですか（母標準偏差と信頼度は同じとする）。 （ア 10 倍 イ 25 倍 ウ 1/5 倍 エ 5 倍）
- 95% 信頼区間の意味として正しいものはどれですか。 （ア 同じ方法で区間を作ることをくり返すと、約 95% の区間が母平均を含む イ 母平均がこの区間に入る確率が 95% ウ 標本平均がこの区間に入る確率が 95% エ 母集団の 95% のデータがこの区間に入る）
- 400 人中 100 人が賛成のとき、母比率 p の 95% 信頼区間に最も近いものはどれですか。 （ア 0.208 ≦ p ≦ 0.292 イ 0.20 ≦ p ≦ 0.30 ウ 0.229 ≦ p ≦ 0.271 エ 0.15 ≦ p ≦ 0.35）
発展
- 平均 50 の製品を作る機械を調整した。100 個の標本の平均が 52、標準偏差 10 のとき、有意水準 5%（両側）で「平均は変わった」といえますか。 （ア Z = 2 > 1.96 なので変わったといえる イ Z = 0.2 < 1.96 なので変わったとはいえない ウ Z = 20 なので変わったといえる エ 標本が少ないので判断できない）
- コインを 400 回投げて表が 220 回以上出る確率に最も近いものはどれですか（正規分布で近似、P(0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772）。 （ア 0.0228 イ 0.4772 ウ 0.9772 エ 0.0456）
- X ~ N(50, 10²) のとき、P(40 ≦ X ≦ 65) はどれですか（P(0 ≦ Z ≦ 1) = 0.3413、P(0 ≦ Z ≦ 1.5) = 0.4332）。 （ア 0.7745 イ 0.0919 ウ 0.4332 エ 0.8413）
正規分布・標本平均・推定・検定 ── 解答
基礎
- −1 Z = (X − m)/σ = (95 − 100)/5 = −1。
- 0.0668 P(Z ≧ 1.50) = P(Z ≧ 0) − P(0 ≦ Z ≦ 1.50) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668。
- 0.0668 標準化：Z = (115 − 100)/10 = 1.50。P(Z ≧ 1.50) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668。
- エ E(X̄) = 60、σ(X̄) = 1.2 E(X̄) = m、σ(X̄) = σ/√n = 12/√100 = 12/10。E(X̄) = 60、σ(X̄) = 1.2
- ア 約 68% ±1σ に約 68%、±2σ に約 95%、±3σ に約 99.7%。
標準
- イ 58.04 ≦ m ≦ 61.96 X̄ ± 1.96·σ/√n = 60 ± 1.96 × 10/10 = 60 ± 1.96。58.04 ≦ m ≦ 61.96
- イ Z = 3、棄却する（公正とはいえない） H₀ のもとで表の回数は B(1600, 1/2) ≈ N(800, 20²)。Z = (860 − 800)/20。|Z| と 1.96 を比べる。Z = 3、棄却する（公正とはいえない）
- イ 25 倍 幅は σ/√n に比例。√n を 5 倍にするので n は 25 倍。25 倍
- ア 同じ方法で区間を作ることをくり返すと、約 95% の区間が母平均を含む 母平均は定数。「区間のほうが」95% の割合で当たる。
- ア 0.208 ≦ p ≦ 0.292 p̂ = 0.25、√(0.25×0.75/400) ≒ 0.0217、1.96 × 0.0217 ≒ 0.042。
発展
- ア Z = 2 > 1.96 なので変わったといえる Z = (52 − 50)/(10/√100) = 2。
- ア 0.0228 N(200, 100)、Z = (220 − 200)/10 = 2。P(Z ≧ 2) = 0.5 − 0.4772。
- ア 0.7745 Z は −1 〜 1.5。0.3413 + 0.4332。
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