二次曲線（放物線・楕円・双曲線） ── 問題
基礎
- 放物線 y² = 4x の焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。 （ア 焦点 (0, 1)、準線 y = −1 イ 焦点 (−1, 0)、準線 x = 1 ウ 焦点 (1, 0)、準線 x = −1 エ 焦点 (4, 0)、準線 x = −4）
- 楕円 x²/9 + y² = 1 の焦点の座標と長軸の長さを求めなさい。 （ア 焦点 (±2√2, 0)、長軸 6 イ 焦点 (0, ±2√2)、長軸 2 ウ 焦点 (±2√2, 0)、長軸 3 エ 焦点 (±√10, 0)、長軸 6）
- 双曲線 x²/64 − y²/36 = 1 の焦点の座標と漸近線の方程式を求めなさい。 （ア 焦点 (±10, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x イ 焦点 (0, ±10)、漸近線 y = ±(3/4)x ウ 焦点 (±10, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x エ 焦点 (±2√7, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x）
- 次の方程式が表す曲線の種類を答えなさい。 y² = 6x （ア 楕円 イ 円 ウ 双曲線 エ 放物線）
- 楕円の定義として正しいものはどれですか。 （ア 2 定点からの距離の和が一定 イ 2 定点からの距離の差が一定 ウ 定点と定直線から等距離 エ 定点からの距離が一定）
標準
- 楕円 x²/5 + y²/20 = 1 上の点 (1, 4) における接線の方程式を求めなさい。 （ア 16x + y = 20 イ −x + y = 5 ウ x + y = 5）
- 方程式 9x² + 36x + 4y² + 8y + 4 = 0 が表す曲線を標準形に直し、中心の座標を答えなさい。 （ア 楕円 (x − 2)²/4 + (y − 1)²/9 = 1、中心 (2, 1) イ 楕円 (x + 2)²/4 + (y + 1)²/9 = 1、中心 (−2, −1) ウ 楕円 (x + 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1、中心 (−2, −1) エ 双曲線 (x + 2)²/4 − (y + 1)²/9 = 1、中心 (−2, −1)）
- 媒介変数表示 x = cos θ、y = sin θ で表される曲線の方程式を求めなさい。 （ア x² + y² = 2 イ x² − y² = 1 ウ x² + y² = 1）
- 焦点 (2, 0)、準線 x = −2 の放物線の方程式はどれですか。 （ア y² = 8x イ y² = 4x ウ y² = 2x エ x² = 8y）
- 2 点 (±4, 0) からの距離の和が 10 である点の軌跡はどれですか。 （ア x²/25 + y²/9 = 1 イ x²/16 + y²/9 = 1 ウ x²/25 − y²/9 = 1 エ x²/100 + y²/36 = 1）
発展
- 楕円 x²/4 + y² = 1 上の点 (2cos θ, sin θ) について、x + 2y の最大値はどれですか。 （ア 2√2 イ 3 ウ 2 エ √5）
- 双曲線 x²/9 − y²/16 = 1 の焦点と、漸近線の組み合わせはどれですか。 （ア 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x イ 焦点 (±√7, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x ウ 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x エ 焦点 (0, ±5)、漸近線 y = ±(4/3)x）
- 楕円 x²/9 + y²/4 = 1 と直線 y = x + k が接する k の値はどれですか。 （ア k = ±√13 イ k = ±√5 ウ k = ±3 エ k = ±2）
二次曲線（放物線・楕円・双曲線） ── 解答
基礎
- ウ 焦点 (1, 0)、準線 x = −1 y² = 4px と比べて 4p = 4、p = 1。焦点 (p, 0)、準線 x = −p。焦点 (1, 0)、準線 x = −1
- ア 焦点 (±2√2, 0)、長軸 6 a = 3、b = 1。c² = a² − b² = 9 − 1 → c = 2√2。焦点は長軸（x 軸）上、長軸の長さ 2a。焦点 (±2√2, 0)、長軸 6
- ウ 焦点 (±10, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x a = 8、b = 6。c² = a² + b² = 64 + 36 → c = 10。漸近線は y = ±(b/a)x。焦点 (±10, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x
- エ 放物線 x²、y² の係数が同符号なら楕円（等しければ円）、異符号なら双曲線、一方だけ 2 次なら放物線。放物線
- ア 2 定点からの距離の和が一定 差が一定は双曲線、定点と定直線から等距離は放物線、定点から一定は円。
標準
- ウ x + y = 5 接線の公式 x₁x/a² + y₁y/b² = 1 に代入し、分母を払う。x + y = 5
- イ 楕円 (x + 2)²/4 + (y + 1)²/9 = 1、中心 (−2, −1) x と y をそれぞれ平方完成：9(x + 2)² + 4(y + 1)² = 36。両辺を 36 で割る。楕円 (x + 2)²/4 + (y + 1)²/9 = 1、中心 (−2, −1)
- ウ x² + y² = 1 cos θ = x/1、sin θ = y/1。cos²θ + sin²θ = 1 に代入。x² + y² = 1
- ア y² = 8x p = 2 → y² = 4·2·x。
- ア x²/25 + y²/9 = 1 2a = 10、c = 4 → b² = 25 − 16 = 9。
発展
- ア 2√2 2cos θ + 2sin θ = 2√2 sin(θ + π/4)。
- ア 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x c² = 9 + 16 = 25。漸近線は y = ±(b/a)x = ±(4/3)x。
- ア k = ±√13 4x² + 9(x + k)² = 36 → 13x² + 18kx + 9k² − 36 = 0。D/4 = 81k² − 13(9k² − 36) = 0 → 36k² = 468 → k² = 13。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/hc-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。