複素数平面（極形式・ド・モアブル） ── 問題
基礎
- 複素数 z = 8 + 15i の絶対値 |z| と共役複素数 z̄ を求めなさい。 （ア |z| = 289、z̄ = 8 − 15i イ |z| = 17、z̄ = −8 + 15i ウ |z| = 17、z̄ = 8 − 15i エ |z| = 17、z̄ = −8 − 15i）
- 複素数 z = 1 − i を極形式 r(cos θ + i sin θ)（0 ≦ θ < 2π）で表しなさい。 （ア √2(cos 7π/4 − i sin 7π/4) イ √2(cos 5π/4 + i sin 5π/4) ウ 2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) エ √2(cos 7π/4 + i sin 7π/4)）
- 点 z = 2 + 2i を原点のまわりに 180° 回転した点を表す複素数を求めなさい。 （ア −2 + 2i イ 2 + 2i ウ 2 − 2i エ −2 − 2i）
- ド・モアブルの定理を使って (1 + √3 i)^3 を計算しなさい。 （ア −8i イ −8 ウ −8 + i エ 8）
- |z − 2i| = 3 を満たす点 z 全体はどれですか。 （ア 点 2i を中心とする半径 3 の円 イ 点 2 を中心とする半径 3 の円 ウ 原点を中心とする半径 3 の円 エ 点 2i と原点を結ぶ線分の垂直二等分線）
標準
- z₁ = 3(cos π/6 + i sin π/6)、z₂ = 4(cos π/3 + i sin π/3) のとき、z₁z₂ と z₁/z₂ を極形式で表しなさい。 （ア 12(cos π/18 + i sin π/18)、(3/4)(cos π/12 + i sin π/12) イ 7(cos π/2 + i sin π/2)、−(cos (−π/6) + i sin (−π/6)) ウ 12(cos π/2 + i sin π/2)、(3/4)(cos (−π/6) + i sin (−π/6)) エ 12(cos (−π/6) + i sin (−π/6))、(3/4)(cos π/2 + i sin π/2)）
- 方程式 z^3 = 1 の解をすべて求めなさい。 （ア z = 1 イ z = ±1 ウ z = 1、(1 ± √3 i)/2 エ z = 1、(−1 ± √3 i)/2）
- 3 点 α = 1 + i、β = 2 + 3i、γ = 3 + 5i について、(γ − α)/(β − α) を計算し、3 点の位置関係を答えなさい。 （ア 絶対値が 1 なので二等辺三角形 イ 実数 2 なので一直線上にある ウ 虚数なので正三角形をなす エ 純虚数 2 なのでαβ ⊥ αγ）
- (1 + i)⁸ の値はどれですか。 （ア 16 イ 16i ウ −16 エ 8）
- 点 β = 3 + i を点 α = 1 + i のまわりに 90° 回転した点はどれですか。 （ア 1 + 3i イ −1 + 3i ウ 3 + 3i エ 1 − i）
発展
- |z − 2| = 2|z + 1| を満たす点 z 全体はどれですか。 （ア 点 −2 を中心とする半径 2 の円 イ 点 2 を中心とする半径 1 の円 ウ 2 と −1 を結ぶ線分の垂直二等分線 エ 点 0 を中心とする半径 2 の円）
- z = cos(2π/5) + i sin(2π/5) のとき、1 + z + z² + z³ + z⁴ の値はどれですか。 （ア 0 イ 1 ウ 5 エ z⁵）
- z² = i の解はどれですか。 （ア z = ±(1 + i)/√2 イ z = ±i ウ z = ±(1 − i)/√2 エ z = ±1）
複素数平面（極形式・ド・モアブル） ── 解答
基礎
- ウ |z| = 17、z̄ = 8 − 15i |z| = √(a² + b²)、z̄ は虚部の符号を変える。|z| = 17、z̄ = 8 − 15i
- エ √2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) r = |z|、θ は点を図示して実軸から測った角（象限に注意）。√2(cos 7π/4 + i sin 7π/4)
- エ −2 − 2i 180° 回転は cos 180° + i sin 180° = −1 をかける。(2 + 2i)·(−1) = −2 − 2i。
- イ −8 極形式にすると r = 2。r^3 = 8、偏角を 3 倍して cos、sin を計算する。−8
- ア 点 2i を中心とする半径 3 の円 |z − α| = r は α 中心、半径 r の円。
標準
- ウ 12(cos π/2 + i sin π/2)、(3/4)(cos (−π/6) + i sin (−π/6)) 積：絶対値は積 3·4、偏角は和。商：絶対値は商 3/4、偏角は差。12(cos π/2 + i sin π/2)、(3/4)(cos (−π/6) + i sin (−π/6))
- エ z = 1、(−1 ± √3 i)/2 1 の 3 乗根は cos(2kπ/3) + i sin(2kπ/3)（k = 0〜2）。単位円を 3 等分する点。z = 1、(−1 ± √3 i)/2
- イ 実数 2 なので一直線上にある (γ − α)/(β − α) が実数なら一直線上、純虚数なら垂直。実数 2 なので一直線上にある
- ア 16 √2(cos π/4 + i sin π/4) の 8 乗 = 16(cos 2π + i sin 2π)。
- ア 1 + 3i γ − α = (β − α)·i = 2i → γ = 1 + i + 2i = 1 + 3i。
発展
- ア 点 −2 を中心とする半径 2 の円 2 乗して整理：z z̄ + 2z + 2z̄ = 0 → |z + 2|² = 4。
- ア 0 z⁵ = 1、z ≠ 1。等比数列の和 (z⁵ − 1)/(z − 1) = 0。
- ア z = ±(1 + i)/√2 i = cos(π/2) + i sin(π/2)。偏角を半分にして cos(π/4) + i sin(π/4) と、その −1 倍。
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