連立方程式の利用 ── 問題
基礎
- 1個 120 円のりんごと 1個 60 円のみかんを合わせて 7 個買い、代金は 540 円でした。りんごは何個買いましたか。
- 2 つの数があり、和は 35、差は 5 です（大きいほうから小さいほうをひく）。大きいほうの数を求めなさい。
- 「りんご x 個とみかん y 個を合わせて 12 個買い、代金が 1160 円（りんご 120 円、みかん 80 円）」の連立方程式として正しいものはどれですか。 （ア x + y = 12、120x + 80y = 1160 イ x + y = 1160、120x + 80y = 12 ウ xy = 12、120x + 80y = 1160 エ x + y = 12、200(x + y) = 1160）
- 10 km を、時速 4 km で x km 歩き、時速 6 km で y km 走って、全体で 2 時間かかった。時間についての式はどれですか。 （ア 4x + 6y = 2 イ x/4 + y/6 = 2 ウ x + y = 2 エ 4x + 6y = 10）
- 5 % の食塩水 x g と 10 % の食塩水 y g を混ぜて 8 % の食塩水 500 g を作る。食塩の量についての式はどれですか。 （ア x + y = 500 イ 5x + 10y = 8 ウ 0.05x + 0.1y = 40 エ 0.05x + 0.1y = 500）
- 「昨年の男子 x 人が今年 10 % 増えた」。今年の男子の人数を表す式はどれですか。 （ア x + 10 イ 0.1x ウ 1.1x エ 10x）
標準
- A から B まで 24 km の道のりを、はじめは時速 4 km で歩き、途中から時速 10 km で走ったら、全体で 3 時間かかりました。歩いた道のりは何 km ですか。
- 6 % の食塩水と 20 % の食塩水を混ぜて、13 % の食塩水を 200 g 作ります。6 % の食塩水は何 g 必要ですか。
- 2 けたの整数があります。十の位と一の位の数の和は 6 で、十の位と一の位を入れかえた数は、もとの数より 18 大きくなります。もとの整数を求めなさい。
- ある中学の生徒数は、昨年は男女合わせて 500 人でした。今年は男子が 20 % 増え、女子が 10 % 減って、合計 480 人になりました。昨年の男子は何人ですか。
- 増減の問題で「昨年」の人数を文字にする理由として正しいものはどれですか。 （ア 昨年のほうが数が小さいから イ 増減の割合（10 % 増など）が昨年を基準にしているので、式が立てやすいから ウ 今年の人数は問題文にあるから エ どちらでも同じ）
発展
- A 町から B 町まで 8 km を、はじめ時速 4 km で歩き、途中から時速 12 km で走ったら、60 分かかりました。走った道のりは何 km ですか。
- 「昨年の男子 x 人、女子 y 人」とおいて解いたら x = 200、y = 300 になった。問題で問われているのが「今年の男子の人数（10 % 増）」のとき、答えはどれですか。 （ア 200 人 イ 220 人 ウ 210 人 エ 300 人）
- 食塩水の問題を解いたら、5 % と 10 % を混ぜたのに「8 % の食塩水」の量が負の数になった。判断として正しいものはどれですか。 （ア 負の量でも解なのでそのまま答える イ 式の左右や濃度の扱いに誤りがある可能性が高いので見直す ウ 10 % の食塩水を使わなかったと解釈する エ 問題が間違っている）
- ある店で、A 商品 1 個と B 商品 4 個を買うと 440 円、A 商品 3 個と B 商品 2 個を買うと 420 円です。A 商品 1 個の値段は何円ですか。
連立方程式の利用 ── 解答
基礎
- 2 りんご x 個、みかん y 個。x + y = 7、120x + 60y = 540。解くと x = 2、y = 5。答え 2 個。
- 20 大きいほうを x、小さいほうを y。x + y = 35、x − y = 5。たして 2x = 40 → x = 20（y = 15）。
- ア x + y = 12、120x + 80y = 1160 個数の関係 x + y = 12、代金の関係 120x + 80y = 1160。2つの文がそのまま2本の式。
- イ x/4 + y/6 = 2 時間 = 道のり ÷ 速さ。歩き x/4 時間、走り y/6 時間、合計 2 時間。
- ウ 0.05x + 0.1y = 40 食塩の量 = 食塩水 × 濃度。0.05x + 0.1y = 0.08 × 500 = 40。濃度どうしは足せない。
- ウ 1.1x 10 % 増えた後は 1 + 0.1 = 1.1 倍。0.1x は「増えた分」。
標準
- 4 歩き x km、走り y km。x + y = 24、x/4 + y/10 = 3。解くと x = 4、y = 20。答え 4 km（歩き 1 時間・走り 2 時間）。
- 100 6 % を x g、20 % を y g。x + y = 200、0.06x + 0.2y = 0.13 × 200 = 26。解くと x = 100、y = 100。答え 100 g。
- 24 十の位 x、一の位 y。x + y = 6、(10y + x) − (10x + y) = 18 → 9(y − x) = 18 → y − x = 2。解くと x = 2、y = 4。答え 24。
- 100 昨年の男子 x 人、女子 y 人。x + y = 500、1.2x + 0.9y = 480。解くと x = 100、y = 400。答え 100 人。
- イ 増減の割合（10 % 増など）が昨年を基準にしているので、式が立てやすいから 「10 % 増」は昨年の 1.1 倍。基準の年を文字にすると、今年は 1.1x と表せる。今年を文字にすると 1.1 で割る形になり面倒。
発展
- 6 単位を時間にそろえる：60 分 = 1 時間。歩き x km、走り y km。x + y = 8、x/4 + y/12 = 1。解くと y = 6（x = 2）。答え 6 km。
- イ 220 人 x は昨年の人数。今年は 1.1 × 200 = 220 人。何を問われているかを最後に読み返す。
- イ 式の左右や濃度の扱いに誤りがある可能性が高いので見直す 量が負になることはない。解の吟味で条件に合わなければ、立式か計算を疑う。
- 80 A を x 円、B を y 円。x + 4y = 440、3x + 2y = 420。解くと x = 80、y = 90。答え 80 円。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m2-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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