小テスト ／ m2-08

一次関数の利用

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一次関数の利用 ── 問題

基礎

  1. 水そうに、はじめ 17 L の水が入っていて、毎分 4 L ずつ水を入れます。x 分後の水の量を y L とするとき、y を x の式で表しなさい。　（ア y = 21x　イ y = 4x − 17　ウ y = 17x + 4　エ y = 4x + 17）
  2. ばねに x g のおもりをつるすと長さが y cm になり、y = 0.5x + 10 で表されます。10 g のおもりをつるしたときの長さは何 cm ですか。
  3. 表で、おもり 0 g のときばねの長さは 18 cm、50 g ごとに 15 cm のびます。1 g あたりののびは何 cm ですか。
  4. 時間 x と道のり y のグラフ（ダイヤグラム）で、グラフが横になっている（傾き 0）区間は何を表しますか。　（ア 最も速く動いている　イ 止まっている　ウ 引き返している　エ 出発点に戻った）
  5. 2人のダイヤグラム（時間と道のりのグラフ）が交わる点は何を表しますか。　（ア 2人の速さが等しい　イ 2人が同じ時刻に同じ場所にいる（出会う・追いつく）　ウ 2人が出発した　エ 2人の道のりの差が最大）
  6. 長方形 ABCD（AB = 6 cm、BC = 10 cm）の辺上を点 P が A から B へ毎秒 1 cm で動く。x 秒後（0 ≦ x ≦ 6）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。　（ア y = 3x　イ y = 5x　ウ y = 6x　エ y = 30）

標準

  1. A プランは基本料 1500 円で 1 分 40 円、B プランは基本料 3000 円で 1 分 10 円です。何分使うと 2 つのプランの料金が等しくなりますか。
  2. 弟は家を出て分速 60 m で歩き、兄は弟が出てから 2 分後に家を出て分速 70 m で追いかけました。兄が家を出てから何分後に弟に追いつきますか。
  3. A 地点と B 地点は 650 m 離れています。P は A から B へ分速 60 m、Q は B から A へ分速 70 m で同時に出発しました。2人は出発してから何分後に出会いますか。
  4. 長方形 ABCD（AB = 6 cm、BC = 10 cm）の辺上を点 P が A → B → C と毎秒 1 cm で動く。P が辺 BC 上にあるとき（6 ≦ x ≦ 16）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。　（ア y = 5x　イ y = −5x + 80　ウ y = 60　エ y = 30）
  5. 長方形 ABCD（AB = 8 cm、BC = 12 cm）の辺上を点 P が A → B → C → D と毎秒 1 cm で動く。P が辺 CD 上にあるとき（20 ≦ x ≦ 28）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。　（ア y = 6x − 120　イ y = −6x + 168　ウ y = 6x　エ y = 48）

発展

  1. 直線 ℓ：y = −3x − 6 と直線 m：y = −2x − 4 の交点を A、ℓ と y 軸の交点を B、m と y 軸の交点を C とします。△ABC の面積を求めなさい。
  2. 原点 O と、直線 y = −x − 2 上の点 A（x 座標 5）、直線と y 軸の交点 B について、△OAB の面積を求めなさい。
  3. 動点の問題で、点 P が辺 AB 上（0 ≦ x ≦ 6）では y = 5x、辺 BC 上（6 ≦ x ≦ 16）では y = 30 だった。x = 6 での確かめとして正しいものはどれですか。　（ア 5 × 6 = 30 で両方の式が同じ値になり、つながっている　イ 5 × 6 = 30 ≠ 16 なので誤り　ウ 確かめは不要　エ x = 6 は両方の変域に入っているので式は無効）
  4. 頂点 A を通って △ABC の面積を2等分する直線が通る点はどれですか。　（ア 辺 BC の中点　イ 辺 AB の中点　ウ △ABC の重心以外の点　エ 頂点 B）

一次関数の利用 ── 解答

基礎

  1. エ　y = 4x + 17　1 分あたり 4 L 増える（傾き）、はじめ 17 L（切片）。y = 4x + 17。
  2. 15　x = 10 を代入：y = 0.5 × 10 + 10 = 15 cm。
  3. 0.3　15 ÷ 50 = 0.3 cm。これが傾き。
  4. イ　止まっている　傾き = 速さ。傾き 0 は道のりが変わらない＝止まっている。
  5. イ　2人が同じ時刻に同じ場所にいる（出会う・追いつく）　交点は x（時刻）も y（場所）も同じ点。追いつく・出会うの瞬間。
  6. イ　y = 5x　底辺 AD = 10、高さ AP = x。y = (1/2) × 10 × x = 5x。

標準

  1. 50　A：y = 40x + 1500、B：y = 10x + 3000。等しいとき 40x + 1500 = 10x + 3000 → 30x = 1500 → x = 50 分。
  2. 12　弟の出発を基準に x 分後とする。弟 y = 60x、兄 y = 70(x − 2)。60x = 70x − 140 → x = 14。兄が出てからは 14 − 2 = 12 分後。
  3. 5　A からの距離で表す。P：y = 60x、Q：y = 650 − 70x。60x = 650 − 70x → 130x = 650 → x = 5 分後。
  4. エ　y = 30　P が BC 上にあるとき、底辺 AD = 10、高さは AB = 6 で一定。y = (1/2) × 10 × 6 = 30（一定）。
  5. イ　y = −6x + 168　P は C から D へ向かい、DP = 28 − x。底辺 AD = 12、高さ DP。y = (1/2) × 12 × (28 − x) = −6x + 168。x = 28 で 0 になる。

発展

  1. 2　A：−3x − 6 = −2x − 4 → A(−2, 0)。B(0, −6)、C(0, −4)。底辺 BC = 2（y 軸上）、高さ = A の x 座標の絶対値 2。面積 = (1/2) × 2 × 2 = 2。
  2. 5　A(5, −7)、B(0, −2)。底辺 OB = 2（y 軸上）、高さ = A の x 座標の絶対値 5。面積 = (1/2) × 2 × 5 = 5。
  3. ア　5 × 6 = 30 で両方の式が同じ値になり、つながっている　区間の境目で2つの式の値が一致するか確かめる。5 × 6 = 30 で一致。
  4. ア　辺 BC の中点　BC の中点 M をとると △ABM と △ACM は底辺が等しく高さが共通なので面積が等しい。

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