中2 数学 ／ 関数 ／ m2-08

更新 2026-09-12

一次関数の利用

この単元でできるようになること

• 身のまわりの量（水の量・料金・温度・ばね）を一次関数で表し、予測に使える
• 速さと時間のグラフ（ダイヤグラム）を読み、追いつく・出会う時刻を求められる
• 図形の上を動く点（動点）の問題で、面積を時間の一次関数として表せる
• 変域ごとに式が変わる関数（折れ線のグラフ）を扱える
• 座標平面で、直線で囲まれた三角形の面積を求められる

入試での位置づけ

一次関数の利用は、関数の大問の後半として出題されやすく、**「グラフを読む」「動点」「面積」**の3つが柱です。計算は m2-06・m2-07 の範囲を出ませんが、「時間 x と面積 y の関係を自分で式にする」段階でつまずく人が多い分野です。表を作って数個の値を確かめてから式にする習慣が、ここでの得点を安定させます。

1. 一次関数で表せる量

まずここだけ

「一定の割合で増える（減る）」量は、一次関数で表せます。

傾き = 1 あたりの変化量、切片 = はじめの値。この読み方ができれば、逆に「表やグラフから式を作る」ときも、「1 あたりいくら増えるか」と「x = 0 のときいくらか」を探せばよいことになります。

例：表から式を作る

10 g ごとに 5 cm のびる → 1 g あたり 0.5 cm → a = 0.5。x = 0 で 12 → b = 12。y = 0.5x + 12 「50 g のときの長さ」→ 0.5 × 50 + 12 = 37 cm。表にない値を式で予測するのが、関数を使う目的です。

料金プランの比較

A プラン：基本料 1000 円、1 分 40 円。B プラン：基本料 2200 円、1 分 10 円。何分以上使うと B が安いか。

A：y = 40x + 1000、B：y = 10x + 2200。等しくなるのは 40x + 1000 = 10x + 2200 → x = 40。 40 分より長く使うなら B（傾きが小さい＝伸びが少ない）。答え：40 分を超えると B が安い

「どちらが得か」は交点を求め、交点の左右で傾きの大小を見る問題です。

2. 速さのグラフ（ダイヤグラム）

まずここだけ

横軸に時間、縦軸に道のり（出発点からの距離）をとったグラフを、鉄道の運行図にちなんでダイヤグラムと呼びます。

• 傾き = 速さ（1 分あたりに進む道のり）
• 横線（傾き 0）= 止まっている
• 2 本のグラフの交点 = 2 人が同じ場所にいる（出会う・追いつく）

例：追いつく

弟は家を出て分速 60 m で歩き、兄は 6 分後に家を出て分速 90 m で追いかける。兄が家を出てから何分後に追いつくか。

弟：出発してから x 分後の道のり y = 60x 兄：弟の出発を基準に x 分後とすると、兄は (x − 6) 分歩いているので y = 90(x − 6) = 90x − 540 交点：60x = 90x − 540 → 30x = 540 → x = 18。弟の出発から 18 分後 ＝ 兄が出てから 12 分後（1080 m 地点）

**「x が何を基準にしているか」**を最初に決めて、両方の式を同じ基準で書くのがコツです。

例：出会う

A 地点と、そこから 3000 m 離れた B 地点がある。P は A から B へ分速 80 m、Q は B から A へ分速 70 m で同時に出発した。何分後に出会うか。

A からの距離で表す。P：y = 80x、Q：y = 3000 − 70x（B からスタートして A に近づく＝減る） 80x = 3000 − 70x → 150x = 3000 → x = 20。20 分後（A から 1600 m の地点）

向かい合って進む人は、片方の式が右下がりになります。

グラフを読む問題

グラフから「途中で止まった時間」「速さが変わった時刻」を読む問題では、

• 横になっている区間 → 止まっている
• 傾きが急になった → 速くなった
• 折れ曲がった点の座標 → その時刻・場所

を式に直さず読み取るだけで答えられるものも多いです。まずグラフの折れ点の座標を全部書き出すことから始めます。

よくある間違い

• 兄と弟で x の基準がずれたまま連立する → 同じ基準（どちらかの出発時刻）にそろえる
• 「出会う」の問題で、Q の式を y = 70x にしてしまう → B から A に向かうなら y = 3000 − 70x
• 分と時間、m と km を混ぜる → 式を立てる前に単位をそろえる

ここまでできれば十分

ダイヤグラムで「傾き = 速さ」「交点 = 出会う・追いつく」が使えれば、この単元の前半は合格です。

3. 動点の問題

まずここだけ

長方形 ABCD（AB = 6 cm、BC = 10 cm）の辺上を、点 P が A を出発して B、C の順に毎秒 1 cm で動く。P が出発してから x 秒後の △APD の面積を y cm² とする。x と y の関係を式で表せ。

P がどの辺にいるかで式が変わるので、区間に分けます。

① P が AB 上（0 ≦ x ≦ 6） AP = x。△APD は底辺 AD = 10、高さ AP = x。y = (1/2) × 10 × x = 5x

② P が BC 上（6 ≦ x ≦ 16） △APD は底辺 AD = 10、高さは AB = 6 で一定。y = (1/2) × 10 × 6 = 30（一定）

グラフにすると、0〜6 秒は原点から (6, 30) まで右上がり、6〜16 秒は y = 30 の横線。折れ線になります。

動点の手順

1. 点の速さから、各辺を通過する時刻を出す（AB 6 cm を毎秒 1 cm → 6 秒、BC 10 cm → 16 秒まで）
2. 区間ごとに、図をかいて三角形の底辺と高さを x で表す
3. 式にして、変域を添える
4. 区間の境目（x = 6）で式の値がつながるか確かめる（5 × 6 = 30 ✓）

例：P が CD 上に進む場合

CD = 6 cm なので 16 ≦ x ≦ 22。P は C から D に向かい、DP = 22 − x。△APD は底辺 AD = 10、高さ DP = 22 − x。 y = (1/2) × 10 × (22 − x) = −5x + 110。x = 16 で 30 ✓、x = 22 で 0（P が D に着いて三角形がつぶれる）✓

よくある間違い

• 区間を分けずに1つの式で書こうとする → 辺ごとに式が変わる
• 高さを「P までの道のり」にする → 高さは底辺に垂直な長さ。BC 上にいるときの高さは AB で一定
• 変域を書き忘れる → 式は変域とセットで答える

4. 座標平面上の三角形の面積

ここまでできれば十分（の次）

直線 ℓ：y = 2x + 4 と直線 m：y = −x + 7 の交点を A、ℓ と y 軸の交点を B、m と y 軸の交点を C とする。△ABC の面積を求めよ。

• A：2x + 4 = −x + 7 → x = 1、y = 6 → A(1, 6)
• B：ℓ の切片 → B(0, 4)
• C：m の切片 → C(0, 7)
• 底辺を y 軸上の BC = 7 − 4 = 3 にとると、高さは A の x 座標 = 1
• 面積 = (1/2) × 3 × 1 = 3/2

y 軸上（または x 軸上）に2頂点があるなら、それを底辺に。高さはもう1つの頂点の x 座標（または y 座標）の絶対値です。

原点と2点の三角形

原点 O と A(1, 6)、B(0, 4) の △OAB → 底辺 OB = 4（y 軸上）、高さ = A の x 座標 1 → 面積 2

面積を2等分する直線（発展）

「原点を通り △ABC の面積を2等分する直線」は、辺 BC の中点を通る直線です（中点で底辺を半分にすれば、高さが共通なので面積も半分）。B(0, 4)、C(0, 7) の中点は (0, 11/2)。原点とこの点を通る直線は…y 軸そのものになってしまうので、この例では別の辺で考えます。一般に「頂点を通って面積を2等分」＝「向かい合う辺の中点を通る」と覚えておけば、式は m2-06 の「2点を通る直線」で求まります。

5. 自己チェック

1. 傾き = 1 あたりの変化量、切片 = はじめの値、と読めたか
2. ダイヤグラム：x の基準（誰の出発時刻か）を両方の式でそろえたか
3. 動点：辺ごとに区間を分け、境目で値がつながるか確かめたか
4. 面積：軸上の 2 点を底辺にし、高さは残る頂点の座標の絶対値にしたか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m2-08）

関連する単元

• 前提：m2-06 一次関数、m2-07 一次関数と方程式
• 次に進む：m2-09 平行線と角（図形分野へ）
• ここで使う考え方が出てくる：m2-13 平行線と面積（等積変形）、m3-09 y=ax² の利用、m3-10 放物線と直線

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第2学年 C 関数 (1) 一次関数 ── 「一次関数を用いて具体的な事象を捉え考察し表現すること」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m2-08/ ／ 更新 2026-09-12