中2 数学 ／ 図形 ／ m2-09

更新 2026-09-12

平行線と角・多角形の内角と外角

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

「x の角度を求めよ」は、小問として出題されやすい定番です。使う道具は 平行線の錯角・同位角、三角形の内角と外角、多角形の内角の和 の3つだけで、それを補助線でつなぐ問題がほとんどです。中2の合同の証明・中3の円周角・相似でも、「角が等しい理由」を書くときにここの言葉（錯角、対頂角）をそのまま使います。

1. 対頂角・同位角・錯角

まずここだけ

2直線が交わってできる、向かい合った角を といいます。対頂角はつねに等しい（平行でなくても）。

      \  a /
       \  /
   d    ×    b        ∠a = ∠c（対頂角）、∠b = ∠d（対頂角）
       /  \
      /  c \

2直線 ℓ、m に、もう1本の直線が交わっているとき

         /
    ─a──/──b──── ℓ
       /d   c
      /
    ─e──/──f──── m
       /h   g
      /

平行線の性質

ℓ ∥ m ならば、同位角は等しく、錯角は等しい

逆も成り立ちます：同位角（または錯角）が等しければ、ℓ ∥ m。「平行だとわかったら錯角を使う」「錯角が等しいとわかったら平行と言える」の両方向で使います。

よくある間違い

2. 三角形の内角と外角

まずここだけ

三角形の3つの の和は 180° です。

なぜか：頂点 A を通って辺 BC に平行な直線を引くと、錯角によって ∠B と ∠C が A のまわりに移り、3 つの角が一直線（180°）に並びます。「平行線の錯角」から導ける、というつながりを覚えておくと、証明問題で使えます。

三角形の1辺をのばしてできる、隣の角を といいます。

三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい

        A
       / \
      /   \
     /     \
    B───────C────  ∠ACD（外角）= ∠A + ∠B
                D

180° − ∠C = ∠A + ∠B（内角の和が 180° だから）で、いちいち ∠C を求めなくても外角が出せます。

例

三角形の分類（角による）

3. 多角形の内角と外角

まずここだけ

n 角形は、1 つの頂点から対角線を引くと (n − 2) 個の三角形に分けられるので

n 角形の内角の和 = 180° × (n − 2)

多角形三角形の数内角の和正多角形の1つの内角
三角形1180°60°
四角形2360°90°
五角形3540°108°
六角形4720°120°
八角形61080°135°
十角形81440°144°

多角形の外角の和は、何角形でも 360° です（各頂点で 内角 + 外角 = 180° なので、合計 180n から内角の和 180(n − 2) をひくと 360）。

正多角形

正 n 角形の 1 つの外角 = 360° ÷ n、1 つの内角 = 180° − 外角。 正五角形なら外角 72°、内角 108°。正八角形なら外角 45°、内角 135°。

「1 つの内角が 150° の正多角形は正何角形か」→ 外角は 30° → 360 ÷ 30 = 正十二角形。内角の和の式よりも、外角 360° ÷ n から攻めるほうが速いです。

よくある間違い

ここまでできれば十分

平行線の錯角・同位角、三角形の内角と外角、n 角形の内角の和と外角の和、の3組で角度が求められれば、この単元の基本は合格です。

4. 角を求める定番の型

ここまでできれば十分（の次）

型①：平行線の間に折れ線（補助線を引く）

   ────────────── ℓ
        \ 30°
         \
          ● x
         /
        / 40°
   ────────────── m

折れ点を通って ℓ（m）に平行な補助線を引くと、x は 2 つの錯角の和になります。x = 30° + 40° = 70°

型②：ブーメラン型（くぼんだ四角形）

くぼんだ点の角 = 残りの 3 つの角の和。三角形の外角を 2 回使うか、くぼんだ点と向かいの頂点を結んで 2 つの三角形にすると導けます。

型③：星形（五芒星）の先端の角の和

星の 5 つの先端の角の和は 180°。1 つの三角形に外角を使って角を集めると示せます。

型④：角の二等分線が作る角

△ABC で ∠B と ∠C の二等分線の交点を I とすると、∠BIC = 90° + ∠A/2。 ∠BIC = 180 − (∠B + ∠C)/2 = 180 − (180 − ∠A)/2 = 90 + ∠A/2。

補助線の引き方

  1. 平行線があるなら、折れ点を通る平行線
  2. 角が離れているなら、結んで三角形を作る（外角で角を集める）
  3. くぼみがあるなら、くぼみの点を通る線で三角形に分ける

「どこに補助線を引くか」に唯一の正解はありませんが、上の 3 つのどれかで大半の問題は解けます。

もう一歩（発展）：等しい角に印をつけて考える

角度の問題では、わかった角度を図に書き込みながら進めるのが最も確実です。二等辺三角形の底角、平行線の錯角、対頂角など「等しい角」に同じ印（●、○）をつけると、どの三角形で 180° を使えばよいかが見えてきます。頭の中だけで処理しようとすると、途中の角を忘れます。

5. 自己チェック

  1. 同位角・錯角を等しいとした場所は、平行線があったか
  2. 外角 = 隣り合わない 2 内角の和、を使えたか
  3. n 角形の内角の和は 180 × (n − 2)、外角の和は 360° か
  4. 補助線（平行線・結ぶ）を引いて、三角形に分けたか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m2-09）

関連する単元

参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
基礎から標準から発展から

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m2-09/ ／ 更新 2026-09-12