小テスト ／ m2-09

平行線と角・多角形の内角外角

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平行線と角・多角形の内角外角 ── 問題

基礎

  1. 三角形の 2 つの内角が 63°、41° のとき、残りの内角は何度ですか。
  2. 三角形の 2 つの内角が 47°、73° のとき、残りの頂点の外角は何度ですか。
  3. 12 角形の内角の和は何度ですか。
  4. 正9角形の 1 つの外角は何度ですか。
  5. 2直線が交わってできる、向かい合った角について正しいものはどれですか。　（ア 平行線のときだけ等しい　イ つねに等しい（対頂角）　ウ 和が 180° になる　エ つねに 90°）
  6. 2直線 ℓ、m に 1 本の直線が交わっている。「錯角が等しい」ことから言えることはどれですか。　（ア ℓ ⊥ m　イ ℓ ∥ m　ウ ℓ と m は交わる　エ 何も言えない）

標準

  1. 平行な 2 直線 ℓ、m の間に折れ線があり、ℓ との角が 20°、m との角が 40°（どちらも折れ線の内側の角）です。折れ点の角 x は何度ですか。
  2. 1 つの内角が 162° の正多角形は正何角形ですか。
  3. 内角の和が 900° の多角形は何角形ですか。
  4. 二等辺三角形の頂角が 110° のとき、底角は何度ですか。
  5. △ABC で ∠A = 55° のとき、∠B と ∠C の外角の和は何度ですか。
  6. 平行線 ℓ ∥ m と 1 本の直線が交わってできる同側内角（2 直線の内側で同じ側にある 2 角）について正しいものはどれですか。　（ア 等しい　イ 和が 180°　ウ 和が 90°　エ 差が 90°）

発展

  1. △ABC で ∠A = 120° です。∠B と ∠C の二等分線の交点を I とするとき、∠BIC は何度ですか。
  2. くぼんだ四角形（ブーメラン型）で、くぼんでいない 3 つの頂点の角が 27°、25°、25° のとき、くぼんだ点の角（内側の角）は何度ですか。
  3. 星形（五芒星）の 5 つの先端の角の和はいくらですか。　（ア 180°　イ 360°　ウ 540°　エ 900°）
  4. 三角形の内角の和が 180° であることの説明で使う補助線と性質の組み合わせはどれですか。　（ア 頂点を通り対辺に平行な直線を引き、錯角が等しいことを使う　イ 頂点から対辺に垂線を引き、直角三角形にする　ウ 3 辺の中点を結び、4 つの三角形に分ける　エ 外接円をかき、円周角を使う）

平行線と角・多角形の内角外角 ── 解答

基礎

  1. 76　内角の和は 180°。180 − (63 + 41) = 76°。
  2. 120　外角 = 隣り合わない 2 つの内角の和 = 47 + 73 = 120°。
  3. 1800　1 つの頂点から対角線を引くと 10 個の三角形に分かれる。180 × 10 = 1800°。
  4. 40　外角の和はいつも 360°。360 ÷ 9 = 40°。
  5. イ　つねに等しい（対頂角）　対頂角はつねに等しい。平行かどうかは関係ない。
  6. イ　ℓ ∥ m　錯角（または同位角）が等しければ 2 直線は平行。逆に平行なら錯角は等しい。

標準

  1. 60　折れ点を通って ℓ に平行な線を引く。錯角で 20° と 40° が折れ点に移り、x = 20 + 40 = 60°。
  2. 20　外角は 180 − 162 = 18°。外角の和 360 ÷ 18 = 20。正20角形。
  3. 7　180 × (n − 2) = 900 → n − 2 = 5 → n = 7。
  4. 35　底角は 2 つで等しい。(180 − 110) ÷ 2 = 35°。
  5. 235　∠B の外角 + ∠C の外角 = (180 − ∠B) + (180 − ∠C) = 360 − (∠B + ∠C) = 360 − (180 − 55) = 235°。
  6. イ　和が 180°　錯角が等しいことと、一直線上の角の和が 180° であることから、同側内角の和は 180°。

発展

  1. 150　∠IBC + ∠ICB = (∠B + ∠C)/2 = (180 − 120)/2 = 30。∠BIC = 180 − 30 = 150°（= 90 + 120/2）。
  2. 77　くぼんだ点と向かいの頂点を結ぶと 2 つの三角形。外角を 2 回使って、くぼみの角 = 27 + 25 + 25 = 77°。
  3. ア　180°　三角形の外角を使って 5 つの角を 1 つの三角形に集めると、内角の和 180° になる。
  4. ア　頂点を通り対辺に平行な直線を引き、錯角が等しいことを使う　頂点 A を通って BC に平行な直線を引くと、錯角で ∠B と ∠C が A のまわりに移り、3 角が一直線（180°）に並ぶ。

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