中2 数学 ／ 関数 ／ m2-07

更新 2026-09-12

一次関数と方程式 ── 2元1次方程式のグラフ・交点

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

関数の大問の第2段階が「交点」です。グラフの交点 = 連立方程式の解、という言い換えができれば、計算は m2-04 そのものです。ここから「交点を頂点とする三角形の面積」（次の単元）、中3の「放物線と直線の交点」（m3-10）へつながります。「直線どうしの交点を出せる」ことが、関数の大問で得点を積み上げる土台です。

1. 2元1次方程式のグラフ

まずここだけ

2x + y = 4 のような方程式を y について解くと y = −2x + 4（m2-02）。これは一次関数なので、グラフは直線です。

つまり、2元1次方程式 ax + by = c のグラフは直線であり、その直線上の点 (x, y) はすべて方程式の解です。「解が無数にある」ことが、グラフでは「直線上の点が無数にある」に対応しています。

かき方（2通り）

① y について解いて、傾きと切片から 3x − 2y = 6 → −2y = −3x + 6 → y = (3/2)x − 3。切片 −3、傾き 3/2。

② x 軸・y 軸との交点から x = 0 のとき：−2y = 6 → y = −3 → (0, −3) y = 0 のとき：3x = 6 → x = 2 → (2, 0) この 2 点を結ぶ。

②のほうが速いことが多いです。x = 0 と y = 0 を代入して 2 点を出すだけで直線が引けます。

x = k、y = k のグラフ

「y = 3」は y = 0x + 3 で、傾き 0 の一次関数と見ることもできます（正確には一次関数ではなく定数関数）。「x = −2」は y = … の形にできないので関数のグラフではありませんが、直線であることに変わりありません。

よくある間違い

2. 交点 = 連立方程式の解

まずここだけ

2直線 y = x + 1 と y = −2x + 7 の交点は、両方の式を同時に満たす (x, y)。つまり連立方程式の解です。

x + 1 = −2x + 7 → 3x = 6 → x = 2、y = 3。交点 (2, 3)

「交点を求めよ」＝「連立方程式を解け」。グラフから読み取る問題でも、格子点でないときは計算で求めます。

例：ax + by = c の形どうし

2x + y = 5 と x − y = 1 の交点 たして 3x = 6 → x = 2、y = 1。(2, 1)

例：軸に平行な直線との交点

y = 2x − 3 と x = 4 の交点 → x = 4 を代入して y = 5。(4, 5) y = 2x − 3 と y = −1 の交点 → −1 = 2x − 3 → x = 1。(1, −1)

平行な直線は交点をもたない

y = 2x + 1 と y = 2x − 3 は傾きが同じで平行。連立すると 2x + 1 = 2x − 3 → 0 = −4 で解なし。「交点なし」＝「連立方程式の解なし」（m2-04 の発展）。

よくある間違い

ここまでできれば十分

「交点は連立方程式の解」で座標を出せれば、この単元の中心は合格です。

3. 交点を使う問題

交点を通る直線

2直線 y = x + 1 と y = −2x + 7 の交点を通り、傾きが 3 の直線の式

交点 (2, 3) を求めてから（上の計算）、y = 3x + b に代入：3 = 6 + b → b = −3。y = 3x − 3

「交点を通る」は「交点を求めてから、その点を通る直線を求める」の2段階です。

3直線が1点で交わる

3直線 y = x + 1、y = −2x + 7、y = ax − 1 が 1 点で交わるとき、a の値

まず 2 直線の交点 (2, 3) を求め、3 本目がそこを通る条件：3 = 2a − 1 → a = 2

三角形の面積（入口）

直線 y = x + 1 と y = −2x + 7 と x 軸で囲まれた三角形の面積

3 つの頂点：2 直線の交点 (2, 3)、y = x + 1 と x 軸の交点 (−1, 0)、y = −2x + 7 と x 軸の交点 (7/2, 0)。 底辺は x 軸上の 2 点の距離 7/2 − (−1) = 9/2、高さは交点の y 座標 3。 面積 = (1/2) × 9/2 × 3 = 27/4

面積の問題は「3 頂点の座標を出す → 底辺と高さを座標から読む」の順です。詳しくは次の単元で扱います。

よくある間違い

4. グラフの読み取り

もう一歩（発展）

入試の大問では、グラフに直線が 2〜3 本描かれ、「直線 ℓ の式を求めよ」「交点 P の座標を求めよ」「△OAB の面積を求めよ」と続きます。

  1. 式が書いていない直線は、通る 2 点（切片と格子点）から式を求める（m2-06）
  2. 交点は連立方程式で
  3. 面積は座標から底辺・高さを読む

この順番を機械的にこなせるようにしておくと、大問の (1)(2) は確実に取れます。(3) 以降の「面積を 2 等分する直線」「等積変形」は m2-13（平行線と面積）と組み合わせます。

例：グラフに直線 ℓ が (0, 4) と (2, 0) を通るように描かれ、直線 m が y = x − 2 と書かれている。ℓ と m の交点を求めよ。

ℓ：切片 4、傾き (0 − 4)/(2 − 0) = −2 → y = −2x + 4。 交点：−2x + 4 = x − 2 → 3x = 6 → x = 2、y = 0。(2, 0)（ℓ の x 軸との交点と一致）

5. 自己チェック

  1. ax + by = c のグラフは、x = 0・y = 0 を代入した 2 点で引けるか
  2. y = k は横線、x = k は縦線 になっているか
  3. 交点は連立方程式で求め、(x, y) の両方を答えたか
  4. 「交点を通る直線」は、交点を出してから代入したか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m2-07）

関連する単元

参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
基礎から標準から発展から

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m2-07/ ／ 更新 2026-09-12