中2 数学 ／ 図形 ／ m2-13

更新 2026-09-12

平行線と面積 ── 等積変形

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

「面積が等しい三角形を見つける」「面積を 2 等分する直線を引く」は、図形と関数の両方の大問で出題されやすい定番です。道具は1 つだけ──「平行線の間の三角形は面積が等しい」──ですが、それを「どこに平行線を引くか」で使いこなす必要があります。中3の相似（面積比）と、関数の面積問題（m2-08・m3-10）の橋渡しになる単元です。

1. 平行線の間の三角形

まずここだけ

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」。底辺が同じで高さも同じなら、形が違っても面積は等しい。

平行な 2 直線 ℓ、m があり、底辺 BC が m 上、頂点 A が ℓ 上にあるとき、A を ℓ 上のどこに動かしても、高さ（ℓ と m の距離）は変わらないので、△ABC の面積は変わりません。

  ─A────A′────A″──── ℓ
    \    |\    /
     \   | \  /          △ABC = △A′BC = △A″BC
      \  |  \/
  ─────B────C──────── m

ℓ ∥ m ならば、△ABC = △A′BC（面積が等しい。記号 = を面積の意味で使う）

逆も成り立ちます：△ABC = △A′BC で、A、A′ が BC について同じ側にあれば、AA′ ∥ BC。

例：平行四辺形の中の三角形

▱ABCD の辺 AD 上に点 P をとると、△PBC の面積は常に平行四辺形の半分（底辺 BC、高さは AD と BC の距離で一定）。P がどこにあっても同じです。

△ABC と △DBC も、ともに平行四辺形の半分で等しい。

よくある間違い

2. 等積変形 ── 形を変えて面積を保つ

まずここだけ

面積を変えずに図形の形を変えることを といいます。使うのは上の性質だけです。

例：四角形を三角形に直す

四角形 ABCD を、面積の等しい三角形に直す。

  1. 対角線 AC を引く
  2. 頂点 D を通り、AC に平行な直線を引く
  3. その直線と、辺 BC を延長した直線との交点を E とする
  4. △ACD = △ACE（底辺 AC 共通、D と E が AC に平行な直線上）なので、四角形 ABCD = △ABE
        A
       / \
      /   \  D
     /     \/ \
    /      /\  \
   B──────C──────E    ← D を通る AC の平行線が BC の延長と交わる点

「対角線を引く → 頂点を通る対角線の平行線 → 辺の延長との交点」の3手順は、等積変形の定番です。

例：折れ線を直線に直す（境界線の付け替え）

土地が折れ線 PQR で 2 つに分かれているとき、面積を変えずに境界を 1 本の直線に直す：Q を通り PR に平行な直線を引き、境界の辺との交点を S とすれば、△PQR = △PSR なので、直線 PS が新しい境界線。

よくある間違い

ここまでできれば十分

「平行線の間の三角形は面積が等しい」と、四角形を三角形に直す 3 手順ができれば、この単元の基本は合格です。

3. 面積の等しい三角形を見つける

ここまでできれば十分（の次）

台形の中の三角形

台形 ABCD（AD ∥ BC）で、対角線 AC、BD の交点を O とすると

「台形の対角線で分かれた左右の三角形（△ABO と △DCO）は面積が等しい」──入試で繰り返し使う関係です。

平行四辺形の中

▱ABCD の内部の点 P について、△PAB + △PCD = △PBC + △PDA = 平行四辺形の半分。P を通って AB に平行な線で分けると示せます。

面積を 2 等分する直線

頂点を通る場合：△ABC の頂点 A を通って面積を 2 等分する直線は、BC の中点 M を通る（底辺が半分、高さ共通）。

辺上の点を通る場合：辺 BC 上の点 P を通って △ABC を 2 等分する直線

  1. まず A と BC の中点 M を結ぶ（△ABM = △ACM）
  2. M を通り AP に平行な直線と AB（または AC）との交点を Q とする
  3. △APQ = △APM（底辺 AP 共通、Q・M が AP に平行な直線上）なので、直線 PQ が 2 等分線

「中点で 2 等分してから、等積変形で通る点を動かす」──これが辺上の点から 2 等分する定石です。

よくある間違い

4. 座標平面での等積変形

もう一歩（発展）

3 点 A(1, 4)、B(0, 0)、C(4, 0) について、y 軸上に点 P をとり、△PBC = △ABC となるようにしたい。P の座標を求めよ（P ≠ 原点）。

底辺 BC（x 軸上）が共通なので、A と同じ高さ（y = 4）にあれば面積が等しい。y 軸上で y = 4 の点は P(0, 4)。（x 軸の下側 P(0, −4) も面積は等しい）

直線 y = 2x 上に点 Q をとり、△QBC = △ABC としたい（B(0, 0)、C(4, 0)、A(1, 4)）

高さ 4 → y = 4 と y = 2x の交点 → x = 2 → Q(2, 4)。（y = −4 なら Q(−2, −4)）

「底辺が軸上なら、高さ = y 座標の絶対値」。座標平面での等積変形は、「同じ高さの直線（y = k）との交点」を求める問題になります。

原点を通り面積を 2 等分する直線（関数との融合）

△OAB（O 原点）の面積を、O を通る直線で 2 等分 → AB の中点を通る。A(2, 6)、B(6, 2) なら中点 (4, 4)。直線は y = x。 中点の座標は (x の平均, y の平均) で求まります（中点の公式・中3で扱うが、ここでも使える）。

5. 自己チェック

  1. 面積が等しいとした 2 つの三角形は、底辺が共通で頂点が平行線上にあるか
  2. 等積変形で引いた平行線は、「消す頂点を通り、残す対角線に平行」か
  3. 台形の対角線で分けた三角形は、左右が等しい（△ABO = △DCO）か
  4. 面積の 2 等分：頂点からは中点、辺上の点からは中点＋等積変形、で考えたか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m2-13）

関連する単元

参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
基礎から標準から発展から

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m2-13/ ／ 更新 2026-09-12