小テスト ／ m2-13

平行線と面積

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平行線と面積 ── 問題

基礎

  1. 底辺 BC が共通で、頂点 A、A′ がともに BC に平行な直線 ℓ 上にあるとき、△ABC と △A′BC について正しいものはどれですか。　（ア 合同である　イ 面積が等しい　ウ 周の長さが等しい　エ 相似である）
  2. 平行四辺形 ABCD の辺 AD 上の点 P について、△PBC の面積は平行四辺形の何倍ですか。　（ア 1/4 倍　イ 1/3 倍　ウ 1/2 倍　エ P の位置によって変わる）
  3. 平行四辺形 ABCD の面積が 32 cm² のとき、辺 AD 上の点 P に対する △PBC の面積は何 cm² ですか。
  4. 四角形 ABCD を面積の等しい三角形に直すとき、頂点 D を消すために引く直線はどれですか。　（ア D を通り AB に平行な直線　イ D を通り AC に平行な直線　ウ D を通り BC に垂直な直線　エ A と C を結ぶ直線だけ）
  5. △ABC の頂点 A を通り、面積を 2 等分する直線が通る点はどれですか。　（ア 辺 BC の中点　イ 辺 AB の中点　ウ ∠A の二等分線と BC の交点　エ A から BC への垂線の足）
  6. 台形 ABCD（AD ∥ BC）で、△ABC と面積が等しい三角形はどれですか。　（ア △ABD　イ △DBC　ウ △ACD　エ △ABO（O は対角線の交点））

標準

  1. 台形 ABCD（AD ∥ BC）の対角線の交点を O とする。面積が等しい組み合わせはどれですか。　（ア △ABO と △OBC　イ △ABO と △DCO　ウ △AOD と △OBC　エ △ABO と △AOD）
  2. 3 点 A(1, 5)、B(0, 0)、C(7, 0) があります。y 軸上の点 P（y ＞ 0）で △PBC = △ABC となる P の y 座標を求めなさい。
  3. 3 点 A(3, 6)、B(0, 0)、C(8, 0) があります。直線 y = 1x 上の点 Q（x ＞ 0）で △QBC = △ABC となる Q の x 座標を求めなさい。
  4. 辺 BC 上の点 P を通って △ABC の面積を 2 等分する直線を引く手順として正しいものはどれですか。　（ア P と A を結ぶ　イ BC の中点 M をとり、M を通り AP に平行な直線と AB の交点 Q をとって PQ を引く　ウ P を通り BC に垂直な直線を引く　エ P と AB の中点を結ぶ）
  5. 平行四辺形 ABCD の内部の点 P について、正しい関係はどれですか。　（ア △PAB + △PCD = 平行四辺形の半分　イ △PAB = △PCD　ウ △PAB + △PBC = 平行四辺形の半分　エ △PAB + △PCD = 平行四辺形全体）

発展

  1. O を原点、A(2, 5)、B(4, 5) とします。O を通り △OAB の面積を 2 等分する直線が通る点は AB の中点です。その中点の x 座標を求めなさい。
  2. △ABC = △A′BC で、A と A′ が BC について同じ側にあるとき、いえることはどれですか。　（ア AA′ ⊥ BC　イ AA′ ∥ BC　ウ A = A′　エ AB = A′B）
  3. 折れ線 PQR で分かれた 2 つの土地の境界を、面積を変えずに 1 本の直線に直す方法はどれですか。　（ア P と R を結ぶ　イ Q を通り PR に平行な直線と境界の辺の交点 S をとり、PS を境界にする　ウ Q から PR に垂線を下ろす　エ PR の中点と Q を結ぶ）
  4. 3 点 A(1, 4)、B(0, 0)、C(4, 0) について、△PBC = △ABC となる y 軸上の点 P をすべて挙げたものはどれですか。　（ア (0, 4) のみ　イ (0, 4) と (0, −4)　ウ (0, 1) と (0, −1)　エ (0, 8) のみ）

平行線と面積 ── 解答

基礎

  1. イ　面積が等しい　底辺が共通で高さ（ℓ と BC の距離）も同じなので面積が等しい。形は違ってよい。
  2. ウ　1/2 倍　底辺 BC、高さは AD と BC の距離で一定。平行四辺形の半分。P がどこでも同じ。
  3. 16　平行四辺形の半分。32 ÷ 2 = 16 cm²。
  4. イ　D を通り AC に平行な直線　対角線 AC を引き、D を通って AC に平行な直線を引く。BC の延長との交点 E で △ACD = △ACE。
  5. ア　辺 BC の中点　BC の中点 M で底辺が半分になり、高さは共通なので面積も半分。
  6. イ　△DBC　底辺 BC 共通、A と D が BC に平行な AD 上にあるので △ABC = △DBC。

標準

  1. イ　△ABO と △DCO　△ABC = △DBC から共通の △OBC を除くと △ABO = △DCO。対角線で分かれた左右が等しい。
  2. 5　底辺 BC が x 軸上で共通なので、A と同じ高さ y = 5 にあれば面積が等しい。P(0, 5)。
  3. 6　高さが A と同じ y = 6 になればよい。y = 1x と y = 6 の交点：x = 6 ÷ 1 = 6。Q(6, 6)。
  4. イ　BC の中点 M をとり、M を通り AP に平行な直線と AB の交点 Q をとって PQ を引く　AM で 2 等分してから、△APQ = △APM（等積変形）で通る点を M から Q に移す。
  5. ア　△PAB + △PCD = 平行四辺形の半分　P を通り AB に平行な線で分けると、△PAB と △PCD の高さの和が AB と CD の距離になり、合計は半分。

発展

  1. 3　頂点 O から対辺 AB の中点へ引くと 2 等分。中点は ((x の平均), (y の平均)) = (3, 5)。
  2. イ　AA′ ∥ BC　底辺が共通で面積が等しいなら高さが等しい。同じ側で BC からの距離が等しいので AA′ ∥ BC（性質の逆）。
  3. イ　Q を通り PR に平行な直線と境界の辺の交点 S をとり、PS を境界にする　△PQR = △PSR（底辺 PR 共通、Q・S が PR に平行な直線上）なので、境界を PS に変えても面積は変わらない。
  4. イ　(0, 4) と (0, −4)　高さが 4 であればよく、x 軸の上側 y = 4 と下側 y = −4 の両方で面積が等しい。

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